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Auteur(s)
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Michel CESSENAT : Ingénieur des Arts et Manufactures - Docteur en Mathématiques Statistiques et Physique Mathématique
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Ce vocabulaire raisonné répertorie – en rappelant brièvement leurs définitions – des notions utiles pour un ingénieur confronté à un problème, tant au niveau de sa modélisation mathématique que de sa résolution effective (théorique et numérique). L’ingénieur peut alors être en contact avec des mathématiciens ou des articles mathématiques dont il doit comprendre le langage, ou encore mener lui-même l’étude, ce qui l’amènera normalement à utiliser quelques notions mathématiques indiquées ici. Les problèmes visés sont surtout tournés vers l’analyse fonctionnelle ; c’est notamment le cas des systèmes distribués, pour des problèmes avec équations aux dérivées partielles, avec conditions aux limites et conditions initiales.
Ce vocabulaire n’a pas la prétention d’être exhaustif et a, bien sûr, de nombreuses lacunes. Pour combler ces lacunes, nous renvoyons le lecteur aux articles de Sciences fondamentales, et aux références bibliographiques indiquées à la fin de cet article.
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Notions principales relatives aux distributions
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7. Propriétés dans les espaces vectoriels topologiques
7.1 Notions fondamentales
Les propriétés visées dans ce paragraphe sont de nature partiellement algébrique, partiellement topologique, concernant notamment les notions d’espaces supplémentaires, de bases, de suites convergentes et de famille sommable. Les notions indiquées sont a priori bien connues des ingénieurs pour des espaces vectoriels de dimension finie, mais recouvrent de nombreux pièges lorsque la dimension est infinie.
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Soit E un espace vectoriel topologique, M un sous-espace vectoriel de E. Un sous-espace vectoriel N de E est dit :
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supplémentaire algébrique de M dans E, si l’application (x, y ) → x + y est un isomorphisme de M × N sur E pour la structure d’espace vectoriel (ie une application linéaire bijective de M × N sur E ) ;
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supplémentaire topologique de M dans E, si l’application (x, y ) → x + y est un isomorphisme de M × N sur E pour la structure d’espace vectoriel topologique (ie l’application est continue, d’inverse continu, M et N ayant les topologies de sous-espaces de E ).
Cela nécessite que M et N soient des sous-espaces fermés de E. L’espace E est alors dit somme directe de M et N.
Remarque : dans un espace de Banach E, un sous-espace vectoriel fermé M n’admet pas nécessairement de supplémentaire topologique. Par contre, si E = H est un espace de Hilbert, tout espace vectoriel fermé M admet, comme supplémentaire topologique, l’espace orthogonal noté M 0 ou M ⊥ :
M0 = M⊥ = {x ∊ H, (x, y ) = 0,[nbsp ]∀ y ∊ M }-
Série convergente dans E
Une famille
...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - DAUTRAY (R.), LIONS (J.-L.) - Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques. - Masson, chap. I à XXI (1984-1985).
-
(2) - BOURBAKI (N.) - Éléments de mathématiques. - Hermann.
-
(3) - TRÈVES (F.) - Topological Vector Spaces. Distributions and Kernel. - Academic Press (1967).
-
(4) - MEYER (Y.) - Ondelettes. - Hermann (tome 1) (1989).
-
(5) - PIRONNEAU (O.) - Optimal Shape Design for Elliptic Systems. - Springer-Verlag (1984).
-
(6) - BREZIS (H.) - Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. - Masson (1983).
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(7)...
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