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RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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Notions et résultats de base
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1. Le problème du contrôle
Un système est un ensemble de composants (mécaniques, électriques, biologiques, etc.) interconnectés afin de réaliser une certaine fonction. Si son comportement varie avec le temps, on parle de système dynamique. Un système possède des variables d’entrée et des variables de sortie. Ces dernières peuvent être mesurées. Les variables d’entrée peuvent influer sur l’évolution du système, c’est-à-dire les variables de sortie. Quand elles peuvent être volontairement modifiées, on les appelle variables de contrôle. Indépendamment de ces variables, le système peut posséder des variables internes non accessibles ; ce sont les variables d’état.
Définition 1 – Contrôler un système consiste à agir sur les variables d’entrée (variables de contrôle) afin que les variables de sortie présentent les caractéristiques désirées.
Contrôler un système d’après les mesures réalisées sur les variables de sortie s’appelle retour, ou bouclage, ou rétroaction. Il nécessite la connaissance des variables d’état qui sont alors supposées connues. Si ce n’est pas le cas, elles peuvent être estimées à l’aide d’un système spécial appelé l’observateur.
Le contrôle fait partie de notre vie quotidienne, souvent même sans que nous en soyons conscients.
pour fixer les idées, on peut mentionner : régulation de la température de notre corps, stabilisation par redressement du corps lorsque nous faisons du vélo, pilotage automatique des avions, conditionnement d’air, épuration des eaux usées par des solvants chimiques ou biologiques, contrôle du pH d’une solution, réacteurs nucléaires, contrôle des populations de certains animaux par système prédateur-proie, lecture-écriture sur un disque dur, contrôle des taux d’intérêts, phénomènes économiques, oscillateurs harmoniques et même remplissage d’une chasse d’eau.
On voit que les systèmes peuvent être de nature chimique, physique, biologique, mécanique, électrique ou un mélange de ceux-ci.
Un système est gouverné par des équations différentielles, des équations aux dérivées partielles, des équations fonctionnelles ou des équations...
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Le problème du contrôle
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
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(2) - BAI (Z.), FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
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(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
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(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
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(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.), ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
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(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
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CORONA (D.) - Optimal control of linear hybrid automata - . Université de Cagliari (Italie) (2005).
GROGNARD (F.) - Control of constrained systems: closed-loop, open-loop, and hybrid solutions - . Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (Belgique) (2001).
JOHANSSON (M.) - Piecewise linear control systems - . Lund University (Suède) (1999).
KASLIK (E.) - Domaines d’attraction et applications à la théorie du contrôle - . Université de Paris XIII (2006).
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PETRECZKY (M.) - Realization theory of hybrid systems - . Université d’Amsterdam (Pays-Bas) (2006).
SANDBERG (H.) - Model reduction for linear time-varying systems - . Lund Institute of Technology (Suède) (2004).
YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
HAUT DE PAGE
Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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