Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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10. Découplage
Les systèmes MIMO sont difficiles à contrôler directement par tâtonnement car la modification d’une seule entrée peut entraîner celle de plusieurs sorties, sinon toutes. Il serait beaucoup plus simple si chaque entrée (ou bloc d’entrées) n’influençait qu’une seule sortie (ou bloc de sorties). Séparer un système en sous-systèmes indépendants s’appelle découplage. Il existe plusieurs types de découplage selon la forme de la fonction de transfert.
Considérons, pour un système carré ayant le même nombre d’entrées et de sorties (p = m), le cas du découplage diagonal qui consiste à rendre diagonale la matrice G. Dans ce cas, la sortie i ne sera influencée que par l’entrée i. Si G est singulière, les sorties du système ne sont pas linéairement indépendantes et il sera alors impossible de le rendre diagonalement découplé quelle que soit la forme de contrôle.
Pour effectuer un découplage, on considère deux classes principales de bouclage.
-
Retour d’état linéaire de la forme u = –Fx + Lw , où w est une nouvelle entrée externe.
La fonction de transfert est alors :
Considérons la matrice m x m :
où ci est la ième ligne de C et où les entiers non négatifs f 1, …, fm...
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Découplage
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
-
(2) - BAI (Z.), FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
-
(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
-
(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.), ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
-
(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
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CASAS REINARES (F.J.) - Techniques de réduction d’ordre des modèles de circuits haute fréquence faiblement non linéaires - . Université de Limoges (2003).
CORONA (D.) - Optimal control of linear hybrid automata - . Université de Cagliari (Italie) (2005).
GROGNARD (F.) - Control of constrained systems: closed-loop, open-loop, and hybrid solutions - . Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (Belgique) (2001).
JOHANSSON (M.) - Piecewise linear control systems - . Lund University (Suède) (1999).
KASLIK (E.) - Domaines d’attraction et applications à la théorie du contrôle - . Université de Paris XIII (2006).
ÖHR (J.) - On anti-windup and control of systems with multiple input saturations: tools, solutions and case studies - . Uppsala University (2003).
PETRECZKY (M.) - Realization theory of hybrid systems - . Université d’Amsterdam (Pays-Bas) (2006).
SANDBERG (H.) - Model reduction for linear time-varying systems - . Lund Institute of Technology (Suède) (2004).
YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
HAUT DE PAGE
Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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