Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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As a system may evolve over time under the effects of external and internal influences, an entrance and an exit can be defined. When the exit depends linearly on the entrance, it is referred to as linear control. The basic concept for this type of control procedures is to determine an objective function that is linear and constraints that are linear matrix inequalities. This article presents the basic concepts of linear control and outlines the various parameters such as controllability, observability, canonical representation and model reduction, which make it possible to approach this concept.
Auteur(s)
-
Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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Stabilité
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7. Réduction de modèle
La réduction de modèle a pour objet de rechercher une réalisation de dimension k < n. Dans ce cas, bien sûr, la fonction de transfert G n’est pas exactement retrouvée, mais seulement approximée en un certain sens. On cherche donc une approximation de la fraction rationnelle G par une autre fraction rationnelle avec des degrés plus petits, ce qui donne son nom à cette question. La réduction de modèle est reliée à la réalisation partielle et à l’approximation de Padé. Elle est très importante dans la pratique et mise en œuvre lorsque le système est trop grand pour être facilement simulé, ou quand la conception du contrôleur est trop complexe ou trop coûteuse. L’idée de base de la réduction de modèle consiste à éliminer les états qui sont peu contrôlables et/ou observables et n’ont donc qu’un effet limité sur les entrées-sorties du système.
Il existe de nombreuses techniques de réduction de modèle, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Le choix d’une technique dépend des objectifs à atteindre. Des considérations numériques et économiques peuvent également intervenir dans la procédure selon la complexité du problème.
Nous allons maintenant décrire certaines de ces techniques.
7.1 Troncature
Le système de dimension n peut être partitionné en :
( 11 )
avec
.
Puis, G est approximé par :
Sur cette technique, appelée troncature, consulter [32]...
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Réduction de modèle
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
-
(2) - BAI (Z.) , FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
-
(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
-
(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.) , ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
-
(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
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GROGNARD (F.) - Control of constrained systems: closed-loop, open-loop, and hybrid solutions - . Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (Belgique) (2001).
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ÖHR (J.) - On anti-windup and control of systems with multiple input saturations: tools, solutions and case studies - . Uppsala University (2003).
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SANDBERG (H.) - Model reduction for linear time-varying systems - . Lund Institute of Technology (Suède) (2004).
YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
HAUT DE PAGE
Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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