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RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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11. Estimation d’état
Pour façonner la réponse dynamique d’un système en boucle fermée, il est nécessaire, en général, que toutes les variables d’état soient accessibles aux mesures. Bien que cela ne soit pas toujours le cas, il est cependant possible, pour certains systèmes, d’obtenir des performances acceptables avec un bouclage sur les seules variables qui peuvent être mesurées. Cette estimation s’effectue via un autre système, appelé observateur, qui fournit une approximation du vecteur x.
11.1 Observateurs d’états complets
Considérons le système (1)-(2) dans le cas où m < n. Nous allons d’abord construire une estimation
de même dimension n que l’état x et satisfaisant :
Cette estimation s’appelle un observateur d’états complet . Les matrices
et K sont choisies afin que l’erreur
tende vers zéro quand t tend...
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Estimation d’état
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
-
(2) - BAI (Z.), FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
-
(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
-
(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.), ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
-
(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
BABAALI (M.) - Switched linear systems: observability and observers - . Georgia Tech (USA) (2004).
CASAS REINARES (F.J.) - Techniques de réduction d’ordre des modèles de circuits haute fréquence faiblement non linéaires - . Université de Limoges (2003).
CORONA (D.) - Optimal control of linear hybrid automata - . Université de Cagliari (Italie) (2005).
GROGNARD (F.) - Control of constrained systems: closed-loop, open-loop, and hybrid solutions - . Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (Belgique) (2001).
JOHANSSON (M.) - Piecewise linear control systems - . Lund University (Suède) (1999).
KASLIK (E.) - Domaines d’attraction et applications à la théorie du contrôle - . Université de Paris XIII (2006).
ÖHR (J.) - On anti-windup and control of systems with multiple input saturations: tools, solutions and case studies - . Uppsala University (2003).
PETRECZKY (M.) - Realization theory of hybrid systems - . Université d’Amsterdam (Pays-Bas) (2006).
SANDBERG (H.) - Model reduction for linear time-varying systems - . Lund Institute of Technology (Suède) (2004).
YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
HAUT DE PAGE
Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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