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RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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4. Observabilité
La notion d’observabilité va permettre de savoir si la connaissance de la sortie y est suffisante pour déterminer l’état x de manière unique.
Théorème 5 – On dit que le système (1)-(2) est complètement observable si, pour tout x(t 0), il existe t f > t 0 tel que la connaissance de u et y dans l’intervalle [t 0, t f ] détermine x (t 0) de manière unique.
Si seuls certains états (c’est-à-dire certaines composantes du vecteur x) peuvent être déterminés de façon unique à partir de u et de y, on dit que ces états sont observables. Un système est donc complètement observable si tous ses états le sont. L’observabilité signifie que la condition initiale x(t 0) peut être calculée à partir de la connaissance de l’entrée u (t) et de la sortie y (t) sur un intervalle de temps fini [t 0, t f ].
On a le résultat fondamental donné par le théorème 6 :
Théorème 6 – Le système (1)-(2) est complètement observable si et seulement s’il n’est pas algébriquement équivalent à un système de la forme :
On...
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