Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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As a system may evolve over time under the effects of external and internal influences, an entrance and an exit can be defined. When the exit depends linearly on the entrance, it is referred to as linear control. The basic concept for this type of control procedures is to determine an objective function that is linear and constraints that are linear matrix inequalities. This article presents the basic concepts of linear control and outlines the various parameters such as controllability, observability, canonical representation and model reduction, which make it possible to approach this concept.
Auteur(s)
-
Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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Représentation canonique
En anglais
4. Observabilité
La notion d’observabilité va permettre de savoir si la connaissance de la sortie y est suffisante pour déterminer l’état x de manière unique.
Théorème 5 – On dit que le système (1)-(2) est complètement observable si, pour tout x(t0), il existe tf > t0 tel que la connaissance de u et y dans l’intervalle [t0, tf ] détermine x (t0) de manière unique.
Si seuls certains états (c’est-à-dire certaines composantes du vecteur x) peuvent être déterminés de façon unique à partir de u et de y, on dit que ces états sont observables. Un système est donc complètement observable si tous ses états le sont. L’observabilité signifie que la condition initiale x(t0) peut être calculée à partir de la connaissance de l’entrée u (t) et de la sortie y (t) sur un intervalle de temps fini [t0, tf ].
On a le résultat fondamental donné par le théorème 6 :
Théorème 6 – Le système (1)-(2) est complètement observable si et seulement s’il n’est pas algébriquement équivalent à un système de la forme :
On a alors la définition suivante :
Définition 5 – La matrice
s’appelle matrice d’observabilité.
D’où l’on déduit les théorèmes suivants :
Théorème 7 – Une condition nécessaire et suffisante de complète observabilité est que la matrice O (A, C ) soit de rang n.
Un critère supplémentaire est donné par le théorème 8.
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Observabilité
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
-
(2) - BAI (Z.) , FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
-
(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
-
(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.) , ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
-
(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
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CASAS REINARES (F.J.) - Techniques de réduction d’ordre des modèles de circuits haute fréquence faiblement non linéaires - . Université de Limoges (2003).
CORONA (D.) - Optimal control of linear hybrid automata - . Université de Cagliari (Italie) (2005).
GROGNARD (F.) - Control of constrained systems: closed-loop, open-loop, and hybrid solutions - . Université Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (Belgique) (2001).
JOHANSSON (M.) - Piecewise linear control systems - . Lund University (Suède) (1999).
KASLIK (E.) - Domaines d’attraction et applications à la théorie du contrôle - . Université de Paris XIII (2006).
ÖHR (J.) - On anti-windup and control of systems with multiple input saturations: tools, solutions and case studies - . Uppsala University (2003).
PETRECZKY (M.) - Realization theory of hybrid systems - . Université d’Amsterdam (Pays-Bas) (2006).
SANDBERG (H.) - Model reduction for linear time-varying systems - . Lund Institute of Technology (Suède) (2004).
YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
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Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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