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RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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2. Notions et résultats de base
Nous allons commencer par étudier les équations différentielles dans le domaine d’état, c’est-à-dire dans le domaine temporel. Pour effectuer cette étude, on aura recours à l’analyse mathématique. Grâce à la transformation de Laplace, nous transformerons ces équations différentielles en relations algébriques dans le domaine fréquentiel. Elles seront alors plus simples à étudier et à traiter. Puis nous montrerons comment revenir dans le domaine temporel.
Pour simplifier, nous supposerons que
= 0, ce qui ne restreint pas véritablement la généralité.
2.1 Domaine temporel
L’approche dans l’espace d’état consiste à étudier le système [1]-[2] dans le domaine temporel. Considérons d’abord le cas sans contrôle, c’est-à-dire celui où B = 0. Nous pouvons alors résoudre le système différentiel et nous obtenons :
La matrice
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