Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Les séries temporelles, ou séries chronologiques, se rencontrent dans un grand nombre de domaines d'application : finance et économétrie, médecine et biologie, sciences de la Terre et de l'Espace, traitement du signal, métrologie, etc. Cet article décrit les principaux types de séries temporelles et les techniques qui leur sont appliquées afin de les analyser. On cherche en général à les décrire et à en donner les propriétés par des modèles ou des "résumés" dont les éléments sont obtenus par un processus d'identification. On étudie ensuite comment de tels modèles ainsi élaborés sont utilisés pour des opérations de plus haut niveau. L'article se concentre sur les séries mono-variées (une seule quantité est observée au cours du temps), tout en présentant quelques ouvertures sur les séries multi-variées et les techniques applicables. Il s'appuie, d'une part sur des séries réelles, et d'autre part sur des séries simulées, par volonté didactique.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Michel PRENAT : Directeur technique politique d'innovation – Thales Optronique - Professeur associé – Université Paris Sud
INTRODUCTION
Les séries chronologiques sont des séries d'observations d'une (ou plusieurs) quantité(s) au cours du temps. On parle, selon les cas, de séries uni-variées, ou de séries multi-variées. Cet article développe essentiellement les techniques relatives aux séries uni-variées, tout en faisant une incursion dans les séries multi-variées pour des problèmes particuliers. Pour les séries uni-variées, les observations appartiennent à l'ensemble des réels
. Cependant, dans les cas où elles sont complexes (par exemple, le signal observé à la sortie d'un récepteur de radar), elles sont encore considérées comme uni-variées.
Les instants d'observations sont discrets, sans être nécessairement répartis de façon régulière. Parmi les techniques décrites dans cet article, dont les fondements supposent cette répartition régulière, certaines s'étendent aisément au cas non régulier, d'autres supposent des aménagements plus complexes.
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Processus GARCH
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7. Processus SARIMA et à corrélation périodique
Nous allons présenter ici deux classes de processus qui présentent un caractère plus ou moins périodique :
-
les SARIMA (pour Seasonal ARIMA ) présentent des variations périodiques qui ont elles-mêmes un caractère aléatoire, les SARIMA sont stationnaires quand ils ne sont pas intégrés (SARMA ), et non stationnaires lorsqu'ils sont intégrés (au même titre que les ARIMA ) ;
-
les processus à corrélation périodique (PCRP : Periodically Correlated Random Processes ) sont non stationnaires, leur covariance γX (t 1, t 2) étant périodique par rapport à t 1 et à t 2 . On verra que, sous certaines conditions, de tels processus peuvent trouver un modèle stationnaire si on les représente sous une forme multivariée.
7.1 Processus SARIMA
7.1.1 Définitions, exemples, propriétés
Commençons par un exemple simple. Soit s un nombre entier appelé saisonnalité, et considérons le processus (Xt ) défini par (1 – fBs ) Xt = Zt , avec les mêmes conventions que dans les chapitres précédents. Cette relation peut encore s'écrire Xt = fX t – s + Zt , il s'agit d'un SARMA (1, 0) s .
Si |f| < 1, ce processus est un AR (s ) causal, car le polynôme Φ (z ) = 1 – f zs a s zéros complexes de module supérieur à 1, soit zk = f –1/s e ik2π/s , k = 0,…, s – 1 (dans le cas où f est positif).
C'est un AR (s ) d'un type particulier, puisque s – 1 de ses coefficients sont nuls.
La figure 28 illustre les propriétés fondamentales de ce type de processus :
-
la...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAN (D.W.) - Statistics of atomic frequency standards. - IEEE Proceedings, 54, p. 221-235 (1966).
-
(2) - AZENCOTT (R.), DACUNHA-CASTELLE (D.) - Séries d'observations irregulières. Modélisation et prévision. - Masson (1984).
-
(3) - BISCAY (R.), LAVIELLE (M.), GONZALES (A.), CLARK (I.), VALDÉS (P.) - Maximum a posteriori estimation of change points in the eeg. - International Journal of Bio-Medical Computing, 38, p. 189-196 (1995).
-
(4) - BROCKWELL (P.), DAVIS (R.) - Time series : theory and methods. - Springer Series in Statistics, Springer, second edition (1991).
-
(5) - ENGLE (R.F.) - Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. - Econometrica, 50(4), p. 987-1007, juil. 1982.
-
(6) - GARDNER (W.A.), NAPOLITANO (A.), PAURA (L.) - Cyclostationarity :...
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