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RÉSUMÉ
Les séries temporelles, ou séries chronologiques, se rencontrent dans un grand nombre de domaines d'application : finance et économétrie, médecine et biologie, sciences de la Terre et de l'Espace, traitement du signal, métrologie, etc. Cet article décrit les principaux types de séries temporelles et les techniques qui leur sont appliquées afin de les analyser. On cherche en général à les décrire et à en donner les propriétés par des modèles ou des "résumés" dont les éléments sont obtenus par un processus d'identification. On étudie ensuite comment de tels modèles ainsi élaborés sont utilisés pour des opérations de plus haut niveau. L'article se concentre sur les séries mono-variées (une seule quantité est observée au cours du temps), tout en présentant quelques ouvertures sur les séries multi-variées et les techniques applicables. Il s'appuie, d'une part sur des séries réelles, et d'autre part sur des séries simulées, par volonté didactique.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Michel PRENAT : Directeur technique politique d'innovation – Thales Optronique - Professeur associé – Université Paris Sud
INTRODUCTION
Les séries chronologiques sont des séries d'observations d'une (ou plusieurs) quantité(s) au cours du temps. On parle, selon les cas, de séries uni-variées, ou de séries multi-variées. Cet article développe essentiellement les techniques relatives aux séries uni-variées, tout en faisant une incursion dans les séries multi-variées pour des problèmes particuliers. Pour les séries uni-variées, les observations appartiennent à l'ensemble des réels
. Cependant, dans les cas où elles sont complexes (par exemple, le signal observé à la sortie d'un récepteur de radar), elles sont encore considérées comme uni-variées.
Les instants d'observations sont discrets, sans être nécessairement répartis de façon régulière. Parmi les techniques décrites dans cet article, dont les fondements supposent cette répartition régulière, certaines s'étendent aisément au cas non régulier, d'autres supposent des aménagements plus complexes.
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9. Exemple d'application
Ce chapitre se présente comme une illustration quantifiée, très simple, d'une application pratique des séries temporelles.
En termes statistiques, il s'agit de détecter une valeur, ou plus généralement un ensemble de valeurs, très peu probable(s) dans une série temporelle. Ce type de problème se rencontre en traitement du signal, par exemple dans un radar pour détecter une cible sur un fond d'échos parasites comme les échos de sol. L'objectif est de montrer que, si le « fond » est corrélé, alors une anomalie sera détectée avec un rapport signal sur bruit bien plus petit que sur un fond non corrélé.
-
Supposons que l'on dispose d'une série temporelle (Xt ), réalisation d'un processus AR (1), soit Xt = fX t – 1 + Zt . On supposera ici que (Zt ) est gaussien pour simplifier l'exposé, mais souvent la réalité de la physique est différente.
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Supposons que l'on remplace une des valeurs de la série, par exemple
, par une quantité prise au hasard, indépendante de la série ; on peut alors se poser les questions classiques de la détection sous forme de test d'hypothèse :
-
comment détecter une telle anomalie ? ;
-
quelles seront les performances de détection ? taux de fausse alarme (ou erreur de première espèce dans le langage des tests d'hypothèses), taux de détection (ou puissance du détecteur, ou encore le complément à 1 de l'erreur de deuxième espèce).
La figure 38 permet d'illustrer ce problème. La figure 38 a montre une réalisation de taille 1 000 d'un AR (1) avec une valeur de f élevée (c'est-à-dire proche de 1, f = 0,995), la figure 38 b montre la même série où l'on a...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAN (D.W.) - Statistics of atomic frequency standards. - IEEE Proceedings, 54, p. 221-235 (1966).
-
(2) - AZENCOTT (R.), DACUNHA-CASTELLE (D.) - Séries d'observations irregulières. Modélisation et prévision. - Masson (1984).
-
(3) - BISCAY (R.), LAVIELLE (M.), GONZALES (A.), CLARK (I.), VALDÉS (P.) - Maximum a posteriori estimation of change points in the eeg. - International Journal of Bio-Medical Computing, 38, p. 189-196 (1995).
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(4) - BROCKWELL (P.), DAVIS (R.) - Time series : theory and methods. - Springer Series in Statistics, Springer, second edition (1991).
-
(5) - ENGLE (R.F.) - Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. - Econometrica, 50(4), p. 987-1007, juil. 1982.
-
(6) - GARDNER (W.A.), NAPOLITANO (A.), PAURA (L.) - Cyclostationarity :...
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