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RÉSUMÉ
Les séries temporelles, ou séries chronologiques, se rencontrent dans un grand nombre de domaines d'application : finance et économétrie, médecine et biologie, sciences de la Terre et de l'Espace, traitement du signal, métrologie, etc. Cet article décrit les principaux types de séries temporelles et les techniques qui leur sont appliquées afin de les analyser. On cherche en général à les décrire et à en donner les propriétés par des modèles ou des "résumés" dont les éléments sont obtenus par un processus d'identification. On étudie ensuite comment de tels modèles ainsi élaborés sont utilisés pour des opérations de plus haut niveau. L'article se concentre sur les séries mono-variées (une seule quantité est observée au cours du temps), tout en présentant quelques ouvertures sur les séries multi-variées et les techniques applicables. Il s'appuie, d'une part sur des séries réelles, et d'autre part sur des séries simulées, par volonté didactique.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Michel PRENAT : Directeur technique politique d'innovation – Thales Optronique - Professeur associé – Université Paris Sud
INTRODUCTION
Les séries chronologiques sont des séries d'observations d'une (ou plusieurs) quantité(s) au cours du temps. On parle, selon les cas, de séries uni-variées, ou de séries multi-variées. Cet article développe essentiellement les techniques relatives aux séries uni-variées, tout en faisant une incursion dans les séries multi-variées pour des problèmes particuliers. Pour les séries uni-variées, les observations appartiennent à l'ensemble des réels
. Cependant, dans les cas où elles sont complexes (par exemple, le signal observé à la sortie d'un récepteur de radar), elles sont encore considérées comme uni-variées.
Les instants d'observations sont discrets, sans être nécessairement répartis de façon régulière. Parmi les techniques décrites dans cet article, dont les fondements supposent cette répartition régulière, certaines s'étendent aisément au cas non régulier, d'autres supposent des aménagements plus complexes.
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Processus SARIMA et à corrélation périodique
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6. Processus ARMA intégrés
Les deux grandes caractéristiques des séries chronologiques développées au chapitre précédent, les ARMA, sont (en plus de leur moyenne nulle, que nous avons supposée essentiellement parce que la méthode générale d'étude des séries chronologiques commence, entre autres, par en supprimer la valeur moyenne), stationnarité et mémoire courte (c'est-à-dire à décroissance exponentielle).
Nous allons maintenant étudier les processus ARMA intégrés, qui ne présentent pas simultanément ces deux propriétés :
-
les processus ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average ) sont non stationnaires ;
-
les processus ARFIMA (Autoregressive Fractionaly Integrated Moving Average ) sont stationnaires, à mémoire longue.
6.1 Processus ARIMA
6.1.1 Définitions et principales propriétés
Pour d entier, avec
, les processus (Xt ) est un ARIMA (p, d, q ) si le processus (Yt ) défini par :
est un processus ARMA (p, q ) de moyenne nulle. On dit également que le processus ARIMA (p, d, q ) est un processus ARMA (p, q ) de moyenne nulle « intégré » d fois ;
avec B défini comme l'opérateur retard,
(1 – B ) Xt opération de différentiation : (1 – B ) Xt = Xt – X t–1 ,
(1 – B )...
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Processus ARMA intégrés
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAN (D.W.) - Statistics of atomic frequency standards. - IEEE Proceedings, 54, p. 221-235 (1966).
-
(2) - AZENCOTT (R.), DACUNHA-CASTELLE (D.) - Séries d'observations irregulières. Modélisation et prévision. - Masson (1984).
-
(3) - BISCAY (R.), LAVIELLE (M.), GONZALES (A.), CLARK (I.), VALDÉS (P.) - Maximum a posteriori estimation of change points in the eeg. - International Journal of Bio-Medical Computing, 38, p. 189-196 (1995).
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(4) - BROCKWELL (P.), DAVIS (R.) - Time series : theory and methods. - Springer Series in Statistics, Springer, second edition (1991).
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(5) - ENGLE (R.F.) - Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. - Econometrica, 50(4), p. 987-1007, juil. 1982.
-
(6) - GARDNER (W.A.), NAPOLITANO (A.), PAURA (L.) - Cyclostationarity :...
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