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RÉSUMÉ
Les séries temporelles, ou séries chronologiques, se rencontrent dans un grand nombre de domaines d'application : finance et économétrie, médecine et biologie, sciences de la Terre et de l'Espace, traitement du signal, métrologie, etc. Cet article décrit les principaux types de séries temporelles et les techniques qui leur sont appliquées afin de les analyser. On cherche en général à les décrire et à en donner les propriétés par des modèles ou des "résumés" dont les éléments sont obtenus par un processus d'identification. On étudie ensuite comment de tels modèles ainsi élaborés sont utilisés pour des opérations de plus haut niveau. L'article se concentre sur les séries mono-variées (une seule quantité est observée au cours du temps), tout en présentant quelques ouvertures sur les séries multi-variées et les techniques applicables. Il s'appuie, d'une part sur des séries réelles, et d'autre part sur des séries simulées, par volonté didactique.
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Temporal series, also called chronological series, can be found in various domains of application: finance and econometrics, medicine and biology, earth and space sciences, signal processing, metrology, etc. This article describes the main types of temporal series and the techniques used in order to analyze them. These series and their properties are generally described via models or "summaries" the elements of which are obtained trhough an identification process. The way in which such models are used for higher-level operations is then studied. This article focuses on univariate series (a single quantity is observed over time) whilst presenting certain information on multivariate series and the applicable techniques. For didactic purposes, it is based on real series and simulated ones.
Auteur(s)
-
Michel PRENAT : Directeur technique politique d'innovation – Thales Optronique - Professeur associé – Université Paris Sud
INTRODUCTION
Les séries chronologiques sont des séries d'observations d'une (ou plusieurs) quantité(s) au cours du temps. On parle, selon les cas, de séries uni-variées, ou de séries multi-variées. Cet article développe essentiellement les techniques relatives aux séries uni-variées, tout en faisant une incursion dans les séries multi-variées pour des problèmes particuliers. Pour les séries uni-variées, les observations appartiennent à l'ensemble des réels
. Cependant, dans les cas où elles sont complexes (par exemple, le signal observé à la sortie d'un récepteur de radar), elles sont encore considérées comme uni-variées.
Les instants d'observations sont discrets, sans être nécessairement répartis de façon régulière. Parmi les techniques décrites dans cet article, dont les fondements supposent cette répartition régulière, certaines s'étendent aisément au cas non régulier, d'autres supposent des aménagements plus complexes.
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KEYWORDS
covariance | prediction | identification | stationarity | conditional distribution
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2. Séries temporelles : processus aléatoires et réalisations
2.1 C'est un processus aléatoire particulier
Un processus aléatoire (X ), indexé par un ensemble T, est une famille (Xt ), où t ∈ T, de vecteurs aléatoires à valeurs dans l'espace d'états
(ou
, mais dans la suite, on se limite aux séries à valeurs dans
).
Le processus est défini par la densité de probabilité conjointe de ses valeurs prises pour toute partie de taille finie de T. Si k = 1, le processus est dit « uni-varié ».
-
Le processus uni-varié (Xt ) indexé par T, est du second ordre si les moyennes
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et les covariances
![]()
existent et sont finies pour tout couple (t, s ) de valeurs de T2.Si, de plus,
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, (X ) est une série chronologique (ou temporelle) uni-variée, les éléments de T correspondent implicitement à des instants ordonnés. Cette définition permet de couvrir le cas des séries non régulièrement espacées dans le temps.
et les covariances
existent et sont finies pour tout couple (t, s ) de valeurs de T2.
, (X ) est une série chronologique (ou temporelle) uni-variée, les éléments de T correspondent implicitement à des instants ordonnés. Cette définition permet de couvrir le cas des séries non régulièrement espacées dans le temps.-
Le processus est dit « stationnaire » si ses propriétés statistiques sont invariantes pour toute translation dans le temps. La stationnarité dite « faible » réduit cette propriété à la moyenne et aux covariances, si bien qu'une série temporelle stationnaire au sens faible est telle que :
-
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAN (D.W.) - Statistics of atomic frequency standards. - IEEE Proceedings, 54, p. 221-235 (1966).
-
(2) - AZENCOTT (R.), DACUNHA-CASTELLE (D.) - Séries d'observations irregulières. Modélisation et prévision. - Masson (1984).
-
(3) - BISCAY (R.), LAVIELLE (M.), GONZALES (A.), CLARK (I.), VALDÉS (P.) - Maximum a posteriori estimation of change points in the eeg. - International Journal of Bio-Medical Computing, 38, p. 189-196 (1995).
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(4) - BROCKWELL (P.), DAVIS (R.) - Time series : theory and methods. - Springer Series in Statistics, Springer, second edition (1991).
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(5) - ENGLE (R.F.) - Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. - Econometrica, 50(4), p. 987-1007, juil. 1982.
-
(6) - GARDNER (W.A.), NAPOLITANO (A.), PAURA (L.) - Cyclostationarity :...
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