Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Cet article s'intéresse à la dynamique des systèmes non linéaires, et en particulier aux comportements chaotiques. L’imprédictibilité de ces comportements chaotiques au-delà d'un certain horizon temporel est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales. Elle implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard GOUESBET : Docteur d’État - Professeur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
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Siegfried MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL : Maître de conférence à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
INTRODUCTION
Au-delà de la physique newtonienne, deux révolutions scientifiques ont marqué le siècle dernier, chacune de ces révolutions étant associée au fait qu’une certaine quantité, précédemment considérée comme infinie, s’est avérée finie.
La première révolution est la conséquence du caractère fini de la vitesse de la lumière, une constante indépendante de l’observateur, donnant naissance au monde einsteinien de la relativité. L’univers de la relativité, pour le moins de la relativité restreinte, est déterministe et prédictible.
La seconde révolution résulte du fait qu’il existe un quantum minimal d’action h/2π (l’inverse de cette action n’est donc pas infinie), menant à la mécanique quantique. L’évolution d’un état quantique est régie par une équation déterministe et prédictible (l’équation de Schrödinger) entre deux mesures, mais le processus de mesure lui-même (réduction du paquet d’ondes) est non déterministe et non prédictible, sauf dans un sens statistique.
Dans cet article, nous nous consacrons à la dynamique des systèmes non linéaires, en particulier aux comportements chaotiques qui témoignent de ce que certains auteurs nomment une troisième révolution. Dans ce cadre, il apparaît que des comportements irréguliers ne résultent pas nécessairement de l’interaction entre un grand nombre de degrés de liberté ( ). En particulier, s’agissant d’applications non linéaires à une dimension, un seul degré de liberté (une seule variable) peut être suffisant pour engendrer des comportements de « chaos déterministe » alliant déterminisme et imprédictibilité. L’imprédictibilité (au-delà d’un certain horizon temporel) des comportements chaotiques est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales, qui implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Comportements dynamiques : du point fixe au chaos
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1. Dynamique des systèmes non linéaires. Systèmes dissipatifs
Dans cet article, nous nous intéressons à des systèmes dits dissipatifs, bien que les études hamiltoniennes soient toujours par ailleurs d’actualité.
Le trait marquant des systèmes dissipatifs est que le théorème de Liouville (cf. encadré historique ci-contre) n’est plus satisfait. Sous l’effet de la dissipation, un volume initial de l’espace des phases tend asymptotiquement vers un objet, de volume nul, appelé attracteur. Il arrive aussi, très souvent, qu’un système dynamique évoluant à l’origine dans un espace des phases de dimension infinie finisse, sous l’effet de la dissipation, par évoluer dans un espace des phases de dimension finie, voire faible . En conséquence, il suffit souvent d’étudier des modèles mathématiques ou physiques possédant un petit nombre de variables. Ce fait est crucial pour la pertinence de la dynamique des systèmes à l’étude de phénomènes régis par des systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP) tels ceux rencontrés en thermique.
La fondation de la dynamique des systèmes non linéaires est habituellement attribuée à Henri Poincaré , à la suite de ses études sur la stabilité du système solaire, et est donc ancrée dans l’examen des systèmes hamiltoniens (conservatifs) constitués de corps en interaction gravitationnelle. Précédemment, en étudiant les « anomalies » du mouvement de la lune, Urbain Le Verrier avait suspecté que la présence de termes non linéaires dans les équations du mouvement était susceptible d’engendrer ce que l’on appelle aujourd’hui une sensibilité aux conditions initiales (SCI), lorsque trois corps (le soleil, la terre, la lune) interagissent. Dans son célèbre travail sur le problème des trois corps, H. Poincaré , introduisit de nombreux concepts qui sont encore aujourd’hui à la base de la dynamique des systèmes modernes, en particulier de l’étude des systèmes d’équations différentielles ordinaires (EDO).
H. Poincaré insiste sur le fait que la description d’un système dynamique doit s’effectuer de manière préférentielle dans un espace, appelé espace des phases, ou espace des états, précédemment introduit par W. Hamilton. Les coordonnées de cet espace (utilisé également...
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - LORENZ (E.N.) - Deterministic nonperiodic flow - . Journal of Atmospheric Science, 20, p. 130-141 (1963).
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(3) - RUELLE (D.), TAKENS (F.) - On the nature of turbulence - . Communications in Mathematical Physics, 20(3), p. 167-192 (1971).
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(4) - H. POINCARÉ, philosophe et mathématicien - . Pour la Science, trimestriel, no 4 (août-novembre 2000).
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(5) - POINCARÉ (H.) - Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique - . Mémoire couronné du prix de S.M. le roi Oscar II de Suède et de Norvège (nov. 1890).
-
(6) - POINCARÉ (H.) - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste - ....
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