Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article s'intéresse à la dynamique des systèmes non linéaires, et en particulier aux comportements chaotiques. L’imprédictibilité de ces comportements chaotiques au-delà d'un certain horizon temporel est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales. Elle implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard GOUESBET : Docteur d’État - Professeur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
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Siegfried MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL : Maître de conférence à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
INTRODUCTION
Au-delà de la physique newtonienne, deux révolutions scientifiques ont marqué le siècle dernier, chacune de ces révolutions étant associée au fait qu’une certaine quantité, précédemment considérée comme infinie, s’est avérée finie.
La première révolution est la conséquence du caractère fini de la vitesse de la lumière, une constante indépendante de l’observateur, donnant naissance au monde einsteinien de la relativité. L’univers de la relativité, pour le moins de la relativité restreinte, est déterministe et prédictible.
La seconde révolution résulte du fait qu’il existe un quantum minimal d’action h/2π (l’inverse de cette action n’est donc pas infinie), menant à la mécanique quantique. L’évolution d’un état quantique est régie par une équation déterministe et prédictible (l’équation de Schrödinger) entre deux mesures, mais le processus de mesure lui-même (réduction du paquet d’ondes) est non déterministe et non prédictible, sauf dans un sens statistique.
Dans cet article, nous nous consacrons à la dynamique des systèmes non linéaires, en particulier aux comportements chaotiques qui témoignent de ce que certains auteurs nomment une troisième révolution. Dans ce cadre, il apparaît que des comportements irréguliers ne résultent pas nécessairement de l’interaction entre un grand nombre de degrés de liberté ( ). En particulier, s’agissant d’applications non linéaires à une dimension, un seul degré de liberté (une seule variable) peut être suffisant pour engendrer des comportements de « chaos déterministe » alliant déterminisme et imprédictibilité. L’imprédictibilité (au-delà d’un certain horizon temporel) des comportements chaotiques est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales, qui implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Caractérisations
En anglais
5. Stabilité et bifurcations
Nous nous proposons dans ce paragraphe de systématiser davantage les notions de stabilité et de bifurcations déjà rencontrées dans les paragraphes précédents, en ajoutant quelques exemples caractéristiques supplémentaires à ceux que nous avons déjà mentionnés.
5.1 Stabilités
On distinguera la stabilité asymptotique et la stabilité structurelle en omettant un certain nombre de subtilités inutiles dans le présent contexte.
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On dit qu’un système dynamique donné (équations sous-jacentes supposées fixées) est asymptotiquement stable par rapport à un état E si toute solution proche de E tend vers E quand t ® ∞. L’état E est alors un attracteur, caractérisé par un bassin d’attraction formé de toutes les conditions initiales qui convergent asymptotiquement vers E. Le test classique de stabilité (dite linéaire) consiste à perturber E par une quantité infinitésimale δE et à examiner l’avenir asymptotique de la perturbation δE. Nous n’examinerons pas ici le problème de la stabilité non linéaire, c’est-à-dire conditionnée par la taille de la perturbation initiale, mais on peut se reporter à la référence pour un exposé dans le cadre de la mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes).
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Alors que la stabilité asymptotique concerne la stabilité d’une solution dans l’espace des phases quand on perturbe les conditions initiales, la stabilité structurelle concerne la stabilité d’une solution quand on perturbe les équations du système. Techniquement, on dit qu’un système est structurellement stable (robuste) si la solution obtenue en perturbant les équations du système est topologiquement équivalente à la solution non perturbée .
Exempleconsidérons un oscillateur linéaire (ou non linéaire), non forcé, non amorti. Une solution typique consiste en une évolution oscillante qui prend la forme d’une boucle B 0 dans l’espace des phases. Si l’on perturbe les conditions initiales, on obtient une autre boucle B 1 ¹ B 0 dans l’espace des phases. Lorsque t tend vers l’infini, B 1 ne tend pas vers B 0 à cause de l’absence de dissipation. B 0...
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Stabilité et bifurcations
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - SMALE (S.) - Differentiable dynamical systems - . Bulletin of the American Mathematical Society, 73, p. 747-817 (1967).
-
(2) - LORENZ (E.N.) - Deterministic nonperiodic flow - . Journal of Atmospheric Science, 20, p. 130-141 (1963).
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(3) - RUELLE (D.), TAKENS (F.) - On the nature of turbulence - . Communications in Mathematical Physics, 20(3), p. 167-192 (1971).
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(4) - H. POINCARÉ, philosophe et mathématicien - . Pour la Science, trimestriel, no 4 (août-novembre 2000).
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(5) - POINCARÉ (H.) - Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique - . Mémoire couronné du prix de S.M. le roi Oscar II de Suède et de Norvège (nov. 1890).
-
(6) - POINCARÉ (H.) - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste - ....
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