Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Cet article s'intéresse à la dynamique des systèmes non linéaires, et en particulier aux comportements chaotiques. L’imprédictibilité de ces comportements chaotiques au-delà d'un certain horizon temporel est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales. Elle implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard GOUESBET : Docteur d’État - Professeur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
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Siegfried MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL : Maître de conférence à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
INTRODUCTION
Au-delà de la physique newtonienne, deux révolutions scientifiques ont marqué le siècle dernier, chacune de ces révolutions étant associée au fait qu’une certaine quantité, précédemment considérée comme infinie, s’est avérée finie.
La première révolution est la conséquence du caractère fini de la vitesse de la lumière, une constante indépendante de l’observateur, donnant naissance au monde einsteinien de la relativité. L’univers de la relativité, pour le moins de la relativité restreinte, est déterministe et prédictible.
La seconde révolution résulte du fait qu’il existe un quantum minimal d’action h/2π (l’inverse de cette action n’est donc pas infinie), menant à la mécanique quantique. L’évolution d’un état quantique est régie par une équation déterministe et prédictible (l’équation de Schrödinger) entre deux mesures, mais le processus de mesure lui-même (réduction du paquet d’ondes) est non déterministe et non prédictible, sauf dans un sens statistique.
Dans cet article, nous nous consacrons à la dynamique des systèmes non linéaires, en particulier aux comportements chaotiques qui témoignent de ce que certains auteurs nomment une troisième révolution. Dans ce cadre, il apparaît que des comportements irréguliers ne résultent pas nécessairement de l’interaction entre un grand nombre de degrés de liberté ( ). En particulier, s’agissant d’applications non linéaires à une dimension, un seul degré de liberté (une seule variable) peut être suffisant pour engendrer des comportements de « chaos déterministe » alliant déterminisme et imprédictibilité. L’imprédictibilité (au-delà d’un certain horizon temporel) des comportements chaotiques est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales, qui implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Reconstructions d’équations du mouvement
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6. Caractérisations
6.1 Dimensions fractales
Pour une introduction simple à la notion de fractale, nous recommandons la référence , qui peut être complétée par les références et . On pourra aussi consulter la référence dans les Techniques de l’Ingénieur (article [AF 4 500]).
Nous partirons ici de l’exemple de l’ensemble triadique de Cantor suggéré par la figure 20. On part du segment [0, 1] et on enlève le tiers central ]1/3, 2/3[. Noter que les points extrêmes 1/3 et 2/3 ne sont pas enlevés. De chacun des tiers restant [0, 1/3] et [2/3, 1], on enlève de nouveau le tiers central, et ainsi de suite, indéfiniment. Le résultat final est une poussière de points ou ensemble triadique de Cantor. Chaque étape de la construction fait apparaître, à partir de l’étape précédente, N = 2 parties, chacune 3 fois plus petite que le segment parent. Par définition, on dit que la dimension fractale de l’ensemble est alors :
La valeur 0,63 (non entière) indique que la poussière de points remplit l’espace mieux qu’un point isolé (de dimension topologique 0) mais moins bien qu’une ligne (de dimension topologique 1).
Nous avons noté que les attracteurs étranges possèdent une structure fractale 4, bien visible sur la figure ...
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Caractérisations
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - SMALE (S.) - Differentiable dynamical systems - . Bulletin of the American Mathematical Society, 73, p. 747-817 (1967).
-
(2) - LORENZ (E.N.) - Deterministic nonperiodic flow - . Journal of Atmospheric Science, 20, p. 130-141 (1963).
-
(3) - RUELLE (D.), TAKENS (F.) - On the nature of turbulence - . Communications in Mathematical Physics, 20(3), p. 167-192 (1971).
-
(4) - H. POINCARÉ, philosophe et mathématicien - . Pour la Science, trimestriel, no 4 (août-novembre 2000).
-
(5) - POINCARÉ (H.) - Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique - . Mémoire couronné du prix de S.M. le roi Oscar II de Suède et de Norvège (nov. 1890).
-
(6) - POINCARÉ (H.) - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste - ....
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