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RÉSUMÉ
Cet article s'intéresse à la dynamique des systèmes non linéaires, et en particulier aux comportements chaotiques. L’imprédictibilité de ces comportements chaotiques au-delà d'un certain horizon temporel est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales. Elle implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Gérard GOUESBET : Docteur d’État - Professeur à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
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Siegfried MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL : Maître de conférence à l’INSA de Rouen, UMR-CNRS 6614
INTRODUCTION
Au-delà de la physique newtonienne, deux révolutions scientifiques ont marqué le siècle dernier, chacune de ces révolutions étant associée au fait qu’une certaine quantité, précédemment considérée comme infinie, s’est avérée finie.
La première révolution est la conséquence du caractère fini de la vitesse de la lumière, une constante indépendante de l’observateur, donnant naissance au monde einsteinien de la relativité. L’univers de la relativité, pour le moins de la relativité restreinte, est déterministe et prédictible.
La seconde révolution résulte du fait qu’il existe un quantum minimal d’action h/2π (l’inverse de cette action n’est donc pas infinie), menant à la mécanique quantique. L’évolution d’un état quantique est régie par une équation déterministe et prédictible (l’équation de Schrödinger) entre deux mesures, mais le processus de mesure lui-même (réduction du paquet d’ondes) est non déterministe et non prédictible, sauf dans un sens statistique.
Dans cet article, nous nous consacrons à la dynamique des systèmes non linéaires, en particulier aux comportements chaotiques qui témoignent de ce que certains auteurs nomment une troisième révolution. Dans ce cadre, il apparaît que des comportements irréguliers ne résultent pas nécessairement de l’interaction entre un grand nombre de degrés de liberté ( ). En particulier, s’agissant d’applications non linéaires à une dimension, un seul degré de liberté (une seule variable) peut être suffisant pour engendrer des comportements de « chaos déterministe » alliant déterminisme et imprédictibilité. L’imprédictibilité (au-delà d’un certain horizon temporel) des comportements chaotiques est la conséquence de leur sensibilité aux conditions initiales, qui implique que, dans un espace des phases, deux trajectoires chaotiques, initialement proches l’une de l’autre, s’éloignent exponentiellement au cours du temps. Il existe donc un horizon de prédictabilité qui n’est pas infini.
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Stabilité et bifurcations
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4. Applications chaotiques
Des applications du type de l’équation [2] peuvent également présenter des comportements chaotiques. L’exemple le plus classique est celui de la parabole logistique dépendant d’une variable x et d’un paramètre µ.
Nous introduirons cette équation en étudiant le comportement d’une population d’insectes isolée sur une île. La population x j + 1 des insectes à l’été (j + 1) dépend, dans un modèle simple, de la population x j à l’été j, selon la relation :
Le terme (rx j ) représente l’évolution naturelle de la population. Lorsqu’il est seul, il entraîne une croissance exponentielle de la population (r > 1) ou une disparition exponentielle de l’espèce (r < 1). Le cas r = 1 n’est pas générique. Le terme non linéaire
modélise les effets néfastes d’une surpopulation. L’équation [6] à deux contrôles peut se réécrire sous la forme d’une équation à un contrôle µ :
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Applications chaotiques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - SMALE (S.) - Differentiable dynamical systems - . Bulletin of the American Mathematical Society, 73, p. 747-817 (1967).
-
(2) - LORENZ (E.N.) - Deterministic nonperiodic flow - . Journal of Atmospheric Science, 20, p. 130-141 (1963).
-
(3) - RUELLE (D.), TAKENS (F.) - On the nature of turbulence - . Communications in Mathematical Physics, 20(3), p. 167-192 (1971).
-
(4) - H. POINCARÉ, philosophe et mathématicien - . Pour la Science, trimestriel, no 4 (août-novembre 2000).
-
(5) - POINCARÉ (H.) - Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique - . Mémoire couronné du prix de S.M. le roi Oscar II de Suède et de Norvège (nov. 1890).
-
(6) - POINCARÉ (H.) - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste - ....
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