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RÉSUMÉ
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications, pour décrire et traiter des incertitudes ou des comportements complexes. Les processus aléatoires sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article a pour objectif de présenter les fondements des processus aléatoires et de les illustrer sur des exemples concrets. Après un bref rappel des bases des probabilités, les processus aléatoires sont définis et leurs principales propriétés décrites. Puis sont donnés des exemples de processus aléatoires et de leurs transformations. Enfin plusieurs applications permettent d'illustrer ces notions.
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Michel PRENAT : Ingénieur ECP à la retraite - Ancien professeur associé à l'université Paris Sud
INTRODUCTION
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications. Les raisons de fond de ces modèles et de leur utilité sont le sujet de réflexions voire de controverses, où l'on peut distinguer quelques grandes lignes : i) la « physique » est aléatoire, c'est le modèle de la mécanique quantique, où l'aléa est présent dès le niveau microscopique ; ii) la physique est déterministe au niveau microscopique, mais le passage au macroscopique conduit à un comportement qui est décrit par un modèle aléatoire, c'est le cas de la physique statistique ; iii) la physique est déterministe, mais la complexité du phénomène est telle qu'un modèle aléatoire est le plus efficace (cas du lancer d'un dé) ; iv) les incertitudes et méconnaissances qui existent sur une réalité, elle-même aléatoire ou déterministe, sont représentées de façon aléatoire.
Le cadre formel est celui des espaces probabilisés, sur lesquels on définit des applications dans l'ensemble des réels appelées « variables aléatoires », puis des collections de variables aléatoires appelées « processus aléatoires ». Ceux-ci sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article présente les fondements des processus aléatoires et les illustre sur des exemples concrets.
Le premier chapitre contient un rappel des bases des probabilités, les définitions des variables et processus aléatoires, ainsi que leurs principales propriétés, comme la covariance, la stationnarité, la représentation spectrale. Le deuxième chapitre donne des exemples de processus aléatoires fondamentaux, dont l'utilisation a un caractère universel, comme le processus de Poisson ou les chaînes de Markov. Le troisième chapitre décrit des transformations de processus aléatoires, comme le filtrage, le seuillage, l'identification. Enfin cinq chapitres sont consacrés chacun à une application particulière (radar, image, turbulences atmosphériques et optiques, maintenance, séries financières), avec comme objectif d'illustrer les développements précédents, mais aussi de décrire certaines techniques spécifiques.
Les développements mathématiques sont aussi réduits que possible, bien que certains raisonnements soient explicités lorsque cela semble nécessaire.
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MOTS-CLÉS
processus aléatoire seuillage détection chaîne de Markov maintenance processus de Poisson représentation spectrale image turbulences séries multivariées
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6. Turbulences atmosphériques et optiques
Dans ce chapitre, nous allons étudier les conséquences de turbulences atmosphériques sur le fonctionnement d'un capteur optique, en particulier sur la qualité de l'image. C'est un exemple intéressant de « transformation de processus aléatoires », car :
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le phénomène physique à l'origine des perturbations de l'image, les turbulences atmosphériques, est modélisé comme un processus aléatoire dont le support est à quatre dimensions, trois dimensions spatiales et une dimension temporelle, et le processus conséquence (les perturbations de l'image) est lui-même à trois dimensions (deux dimensions spatiales de l'image et la dimension temporelle) ;
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plusieurs étapes intermédiaires doivent être analysées : des turbulences atmosphériques aux fluctuations de l'indice de réfraction de l'air, puis aux variations des chemins optiques à travers la couche turbulente, à celles du signal électromagnétique arrivant sur le capteur optique, et enfin aux déformations de l'image formée sur le plan focal du capteur. Cette « chaîne » de transformations est résumée sur la figure 35.
La figure 36 montre pour sa part un schéma de principe d'un capteur optique :
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la lentille de focalisation a pour effet de focaliser les ondes en des points du plan focal (les pixels de l'image) dont la position dépend de la direction d'où proviennent ces ondes. Du point de vue formel, la lentille opère une transformation de Fourier à deux dimensions, passant du signal complexe sur le plan de la lentille au signal intensité de l'image sur le plan focal ;
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le schéma montre aussi d'où proviennent les ondes correspondant à une direction donnée de l'espace, il s'agit d'un « entonnoir » qui est la réunion du cône « champ lointain » et du cylindre « champ proche ». Cette précision est nécessaire dans le cadre de cet exposé, car elle montre que, pour deux directions différentes (deux pixels de l'image), les portions de l'espace sélectionnées sont disjointes (champ lointain), mais les zones traversées par les ondes ont des parties communes (le champ proche).
6.1 Fonction de structure de l'indice de réfraction
Pour plus de détail, on pourra se reporter par exemple...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAYSSE (C.) - Analyse et optimisation de la fiabilité d'un équipement opto-électronique de hums. - Thèse Université de Bordeaux 1 (2013).
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(2) - SAPORTA (B. de), DUFOUR (F.), ZHANG (H.) - Numerical Methods for Simulation and Optimization of Piecewise Deterministic Markov Processes. - Mathematics and Statistic Series. Wiley, springer.com (2016).
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(3) - DULLEMOND (C.P.) - Atmospheric turbulence effects and signal theory. - Beobachtende Astronomie (MKEP5) – Summersemester (2010).
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(4) - EATON (J.W.), BATEMAN (D.), HAUBERG (S.), WEHBRING (R.) - * - . – GNU Octave version 5.2.0 manual : a high-level interactive language for numerical computations (2020).
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(5) - GNEDENKO (B.V.), BELYAYEV (Y.K.), SOLOVYEV (A.D.) - Mathematical Methods of Reliability Theory. - Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, London (1969).
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