Bibliographie & annexes
Présentation
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RÉSUMÉ
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications, pour décrire et traiter des incertitudes ou des comportements complexes. Les processus aléatoires sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article a pour objectif de présenter les fondements des processus aléatoires et de les illustrer sur des exemples concrets. Après un bref rappel des bases des probabilités, les processus aléatoires sont définis et leurs principales propriétés décrites. Puis sont donnés des exemples de processus aléatoires et de leurs transformations. Enfin plusieurs applications permettent d'illustrer ces notions.
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Michel PRENAT : Ingénieur ECP à la retraite - Ancien professeur associé à l'université Paris Sud
INTRODUCTION
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications. Les raisons de fond de ces modèles et de leur utilité sont le sujet de réflexions voire de controverses, où l'on peut distinguer quelques grandes lignes : i) la « physique » est aléatoire, c'est le modèle de la mécanique quantique, où l'aléa est présent dès le niveau microscopique ; ii) la physique est déterministe au niveau microscopique, mais le passage au macroscopique conduit à un comportement qui est décrit par un modèle aléatoire, c'est le cas de la physique statistique ; iii) la physique est déterministe, mais la complexité du phénomène est telle qu'un modèle aléatoire est le plus efficace (cas du lancer d'un dé) ; iv) les incertitudes et méconnaissances qui existent sur une réalité, elle-même aléatoire ou déterministe, sont représentées de façon aléatoire.
Le cadre formel est celui des espaces probabilisés, sur lesquels on définit des applications dans l'ensemble des réels appelées « variables aléatoires », puis des collections de variables aléatoires appelées « processus aléatoires ». Ceux-ci sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article présente les fondements des processus aléatoires et les illustre sur des exemples concrets.
Le premier chapitre contient un rappel des bases des probabilités, les définitions des variables et processus aléatoires, ainsi que leurs principales propriétés, comme la covariance, la stationnarité, la représentation spectrale. Le deuxième chapitre donne des exemples de processus aléatoires fondamentaux, dont l'utilisation a un caractère universel, comme le processus de Poisson ou les chaînes de Markov. Le troisième chapitre décrit des transformations de processus aléatoires, comme le filtrage, le seuillage, l'identification. Enfin cinq chapitres sont consacrés chacun à une application particulière (radar, image, turbulences atmosphériques et optiques, maintenance, séries financières), avec comme objectif d'illustrer les développements précédents, mais aussi de décrire certaines techniques spécifiques.
Les développements mathématiques sont aussi réduits que possible, bien que certains raisonnements soient explicités lorsque cela semble nécessaire.
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MOTS-CLÉS
processus aléatoire seuillage détection chaîne de Markov maintenance processus de Poisson représentation spectrale image turbulences séries multivariées
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Transformations des processus aléatoires
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2. Exemples de processus aléatoires
2.1 Processus de Poisson
le processus de Poisson est défini ici comme un processus d'évènements. Une autre possibilité, équivalente, consisterait à considérer le processus de comptage qui lui correspond, c'est-à-dire son intégrale.
Le processus de Poisson est un processus d'évènements à support temporel ou spatial. Dans le cas temporel, son support est le temps continu, la variable aléatoire vaut 0 ou 1 (l'évènement se produit ou pas), il est sans mémoire (l'occurrence à l'instant t est indépendante de l'occurrence à tout autre instant), et il est caractérisé par son intensité généralement dépendante du temps λ(t) exprimée par exemple en nombre (d'occurrences d'évènements) par seconde.
Dans un premier temps, supposons λ constant et divisons le temps en périodes égales de durée δt , suffisamment petites pour qu'il ne se produise que 0 ou 1 évènement dans la période δt (ceci suppose une propriété supplémentaire qui est que la probabilité pour que l'évènement se produise au moins deux fois dans la période δt décroisse plus vite que δt ), la séquence des variables aléatoires prenant les valeurs 0 ou 1 est dite « séquence de Bernoulli » (elle est aussi appelée de façon abusive « processus de Poisson à temps discret »). Alors la probabilité que l'évènement se produise durant la période δt vaut pδ = δt λ.
Soit maintenant une période T multiple de δt , T = nδt , alors la probabilité pour que l'évènement se produise k fois, k = 0,…, n est donnée par la loi binomiale :
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Exemples de processus aléatoires
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAYSSE (C.) - Analyse et optimisation de la fiabilité d'un équipement opto-électronique de hums. - Thèse Université de Bordeaux 1 (2013).
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(2) - SAPORTA (B. de), DUFOUR (F.), ZHANG (H.) - Numerical Methods for Simulation and Optimization of Piecewise Deterministic Markov Processes. - Mathematics and Statistic Series. Wiley, springer.com (2016).
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(3) - DULLEMOND (C.P.) - Atmospheric turbulence effects and signal theory. - Beobachtende Astronomie (MKEP5) – Summersemester (2010).
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(4) - EATON (J.W.), BATEMAN (D.), HAUBERG (S.), WEHBRING (R.) - * - . – GNU Octave version 5.2.0 manual : a high-level interactive language for numerical computations (2020).
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(5) - GNEDENKO (B.V.), BELYAYEV (Y.K.), SOLOVYEV (A.D.) - Mathematical Methods of Reliability Theory. - Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, London (1969).
-
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