Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications, pour décrire et traiter des incertitudes ou des comportements complexes. Les processus aléatoires sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article a pour objectif de présenter les fondements des processus aléatoires et de les illustrer sur des exemples concrets. Après un bref rappel des bases des probabilités, les processus aléatoires sont définis et leurs principales propriétés décrites. Puis sont donnés des exemples de processus aléatoires et de leurs transformations. Enfin plusieurs applications permettent d'illustrer ces notions.
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Random models proved effectiveness in many applications, for uncertainty or complex systems behavior description and management. So random processes are one of engineering basis in various fields: physics, economy, finance, biology, and so on. This article aims to present the random processes fundamentals and to illustrate them by mean of concrete examples. After a short return on probability basis, the random processes are defined and their main properties are described. Some examples of random processes and of their transformations are then given. Finally, several applications are developed in order to illustrate the previous points.
Auteur(s)
-
Michel PRENAT : Ingénieur ECP à la retraite - Ancien professeur associé à l'université Paris Sud
INTRODUCTION
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications. Les raisons de fond de ces modèles et de leur utilité sont le sujet de réflexions voire de controverses, où l'on peut distinguer quelques grandes lignes : i) la « physique » est aléatoire, c'est le modèle de la mécanique quantique, où l'aléa est présent dès le niveau microscopique ; ii) la physique est déterministe au niveau microscopique, mais le passage au macroscopique conduit à un comportement qui est décrit par un modèle aléatoire, c'est le cas de la physique statistique ; iii) la physique est déterministe, mais la complexité du phénomène est telle qu'un modèle aléatoire est le plus efficace (cas du lancer d'un dé) ; iv) les incertitudes et méconnaissances qui existent sur une réalité, elle-même aléatoire ou déterministe, sont représentées de façon aléatoire.
Le cadre formel est celui des espaces probabilisés, sur lesquels on définit des applications dans l'ensemble des réels appelées « variables aléatoires », puis des collections de variables aléatoires appelées « processus aléatoires ». Ceux-ci sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article présente les fondements des processus aléatoires et les illustre sur des exemples concrets.
Le premier chapitre contient un rappel des bases des probabilités, les définitions des variables et processus aléatoires, ainsi que leurs principales propriétés, comme la covariance, la stationnarité, la représentation spectrale. Le deuxième chapitre donne des exemples de processus aléatoires fondamentaux, dont l'utilisation a un caractère universel, comme le processus de Poisson ou les chaînes de Markov. Le troisième chapitre décrit des transformations de processus aléatoires, comme le filtrage, le seuillage, l'identification. Enfin cinq chapitres sont consacrés chacun à une application particulière (radar, image, turbulences atmosphériques et optiques, maintenance, séries financières), avec comme objectif d'illustrer les développements précédents, mais aussi de décrire certaines techniques spécifiques.
Les développements mathématiques sont aussi réduits que possible, bien que certains raisonnements soient explicités lorsque cela semble nécessaire.
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MOTS-CLÉS
processus aléatoire seuillage détection chaîne de Markov maintenance processus de Poisson représentation spectrale image turbulences séries multivariées
KEYWORDS
random process | thresholding | detection | Markov chains | maintenance | Poisson process | spectral representation | image | turbulences | multivariate series
DOI (Digital Object Identifier)
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Turbulences atmosphériques et optiques
En anglais
5. Détection dans une image
Nous ne nous intéresserons ici qu'à des cas où une représentation de l'image par un processus aléatoire se révèle efficace pour les fonctions que l'on souhaite mettre en œuvre. Ce domaine est encore large : détection d'anomalies, classification, etc. et nous limiterons l'exposé à la question de la détection d'anomalies, en prenant en compte des spécificités propres à l'image :
-
le caractère « 2D » de l'image, ce qui interdit de trouver pour les pixels un ordre qui respecte les notions de voisinage (de même dimension) ;
-
le caractère poissonnien du flux de photons ;
-
la limitation des performances par la présence d'un fond qui provient de la scène et non de la réception par la caméra (BLIP).
Précisons ces trois points.
5.1 Modèle SAR pour une image
Rappelons que, pour une série temporelle, on peut facilement modéliser (et donc aussi synthétiser) un processus corrélé par une relation de récurrence de type autorégressif (AR), soit dans le cas le plus simple de l'AR1, par une relation telle que
, qui suppose qu'il existe une relation d'ordre sur le support du processus, ici le temps. Dans le cas de l'image, on ne peut pas définir d'ordre qui respecte la notion de voisinage, il faut alors faire appel par exemple à des modèles de type SAR (Simultaneous Auto Regressive, à ne pas confondre avec le radar SAR, pour « Synthetic Aperture Radar »), de la forme
, où s désigne un pixel particulier de l'image, V désigne le voisinage d'un pixel (qui ne contient pas le pixel, voir ci-dessous un exemple de voisinage aux quatre plus proches voisins), les éléments i de V étant les déplacements par rapport à s pour parcourir le voisinage de s, et zs est un bruit blanc. On pourra se reporter à l'article de Xavier Guyon ...
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Détection dans une image
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BAYSSE (C.) - Analyse et optimisation de la fiabilité d'un équipement opto-électronique de hums. - Thèse Université de Bordeaux 1 (2013).
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(2) - SAPORTA (B. de), DUFOUR (F.), ZHANG (H.) - Numerical Methods for Simulation and Optimization of Piecewise Deterministic Markov Processes. - Mathematics and Statistic Series. Wiley, springer.com (2016).
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(3) - DULLEMOND (C.P.) - Atmospheric turbulence effects and signal theory. - Beobachtende Astronomie (MKEP5) – Summersemester (2010).
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(4) - EATON (J.W.), BATEMAN (D.), HAUBERG (S.), WEHBRING (R.) - * - . – GNU Octave version 5.2.0 manual : a high-level interactive language for numerical computations (2020).
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(5) - GNEDENKO (B.V.), BELYAYEV (Y.K.), SOLOVYEV (A.D.) - Mathematical Methods of Reliability Theory. - Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, London (1969).
-
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