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RÉSUMÉ
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications, pour décrire et traiter des incertitudes ou des comportements complexes. Les processus aléatoires sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article a pour objectif de présenter les fondements des processus aléatoires et de les illustrer sur des exemples concrets. Après un bref rappel des bases des probabilités, les processus aléatoires sont définis et leurs principales propriétés décrites. Puis sont donnés des exemples de processus aléatoires et de leurs transformations. Enfin plusieurs applications permettent d'illustrer ces notions.
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Michel PRENAT : Ingénieur ECP à la retraite - Ancien professeur associé à l'université Paris Sud
INTRODUCTION
Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications. Les raisons de fond de ces modèles et de leur utilité sont le sujet de réflexions voire de controverses, où l'on peut distinguer quelques grandes lignes : i) la « physique » est aléatoire, c'est le modèle de la mécanique quantique, où l'aléa est présent dès le niveau microscopique ; ii) la physique est déterministe au niveau microscopique, mais le passage au macroscopique conduit à un comportement qui est décrit par un modèle aléatoire, c'est le cas de la physique statistique ; iii) la physique est déterministe, mais la complexité du phénomène est telle qu'un modèle aléatoire est le plus efficace (cas du lancer d'un dé) ; iv) les incertitudes et méconnaissances qui existent sur une réalité, elle-même aléatoire ou déterministe, sont représentées de façon aléatoire.
Le cadre formel est celui des espaces probabilisés, sur lesquels on définit des applications dans l'ensemble des réels appelées « variables aléatoires », puis des collections de variables aléatoires appelées « processus aléatoires ». Ceux-ci sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article présente les fondements des processus aléatoires et les illustre sur des exemples concrets.
Le premier chapitre contient un rappel des bases des probabilités, les définitions des variables et processus aléatoires, ainsi que leurs principales propriétés, comme la covariance, la stationnarité, la représentation spectrale. Le deuxième chapitre donne des exemples de processus aléatoires fondamentaux, dont l'utilisation a un caractère universel, comme le processus de Poisson ou les chaînes de Markov. Le troisième chapitre décrit des transformations de processus aléatoires, comme le filtrage, le seuillage, l'identification. Enfin cinq chapitres sont consacrés chacun à une application particulière (radar, image, turbulences atmosphériques et optiques, maintenance, séries financières), avec comme objectif d'illustrer les développements précédents, mais aussi de décrire certaines techniques spécifiques.
Les développements mathématiques sont aussi réduits que possible, bien que certains raisonnements soient explicités lorsque cela semble nécessaire.
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MOTS-CLÉS
processus aléatoire seuillage détection chaîne de Markov maintenance processus de Poisson représentation spectrale image turbulences séries multivariées
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Détection dans un radar
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3. Transformations des processus aléatoires
Une transformation d’un processus aléatoire est définie par une même fonction appliquée à toute réalisation du processus, avec comme résultat Y(sY , ω) = f[X(sX , ω)], où sX et sY sont les supports de X et Y respectivement. Le résultat de la transformation est lui-même un processus aléatoire. En général, la fonction f peut elle-même être aléatoire, par exemple dans les algorithmes dits « stochastiques ». Mais dans le cadre de cet article, la fonction elle-même sera déterministe, ce qui entraîne que la réalisation Y(sY , ω) est entièrement déterminée par la réalisation X(sX , ω). La fonction f peut elle-même dépendre du support, par exemple si sy = sx = t, on pourra écrire Y(t, ω) = ft [X(t, ω)]. Un moyennage de X sur une durée T, calculée à l’instant t, s’écrira alors
, qui n’est autre qu’un filtrage glissant. Les transformations que nous allons considérer dans ce document sont de deux types : soit elles sont « naturelles » (la transformation de la phase d’un signal optique au travers d’une couche turbulente), soit elles sont « fabriquées » (une opération de seuillage).
3.1 Représentation analytique d’un processus aléatoire
Soit f une fonction définie sur
et à valeurs...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BAYSSE (C.) - Analyse et optimisation de la fiabilité d'un équipement opto-électronique de hums. - Thèse Université de Bordeaux 1 (2013).
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(2) - SAPORTA (B. de), DUFOUR (F.), ZHANG (H.) - Numerical Methods for Simulation and Optimization of Piecewise Deterministic Markov Processes. - Mathematics and Statistic Series. Wiley, springer.com (2016).
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(3) - DULLEMOND (C.P.) - Atmospheric turbulence effects and signal theory. - Beobachtende Astronomie (MKEP5) – Summersemester (2010).
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(4) - EATON (J.W.), BATEMAN (D.), HAUBERG (S.), WEHBRING (R.) - * - . – GNU Octave version 5.2.0 manual : a high-level interactive language for numerical computations (2020).
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(5) - GNEDENKO (B.V.), BELYAYEV (Y.K.), SOLOVYEV (A.D.) - Mathematical Methods of Reliability Theory. - Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, London (1969).
-
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