Bibliographie & annexes
Quiz & test
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleABSTRACT
The theory of ordered sets is a sub-branch of the set theory that deals with the concept of order using the binary relations. The notions of order are present everywhere in mathematics and in many other scientific disciplines, as well as in the fields of engineering. The first part of this article covers the different types of order relations leading to the ordered spaces, on their particular elements and special subsets, the lattices (complete, bounded, distributive...) and applications between ordered spaces. The second part focuses on collections of subsets of a given ambient set by presenting the main properties, then the most used categories of collections. The notions are illustrated by examples and counter-examples.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
L'expertise technique et scientifique de référence
MOTS-CLÉS
KEYWORDS
set theory | order relation | lattices | stacks
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Collections de sous-ensembles
En anglais
7. Morphismes
7.1 Préservation, transposition et inversion de l’ordre
Définition (préservation, transposition et inversion de l’ordre). Une application f entre deux espaces pré-ordonnés
et
, respectivement préserve le pré-ordre (pre-order preserving mapping), transpose le pré-ordre (pre-order reflecting mapping), ou inverse le pré-ordre (pre-order reversing mapping) si (p. 23 de , p. 8 de , p. 202 de , p. 50 de ) :
Une application préservant l’ordre est appelée isotone (isotone), alors qu’une application inversant l’ordre est appelée antitone (antitone) (p. 3 de , p. 5 de , p. 9 de ).
Remarque (transposition et inversion de l’ordre) : Il ne faut pas confondre une application transposant l’ordre et une application inversant l’ordre.
Remarque (croissance et décroissance) : Les termes « croissant » et « décroissant » sont à éviter, puisque leur représentation picturale classique ne s’applique pas aux relations ordres qui ne sont pas totales.
7.2 Homomorphismes et isomorphismes d’ordre
Définition (homomorphisme et isomorphisme). Un homomorphisme (resp. isomorphisme) de structure d’ordre (ou seulement d’ordre partiel ou de pré-ordre) ((partial or pre-) order-homomorphism (isomorphism)) entre deux espaces ordonnés
et
...
L'expertise technique et scientifique de référence
TEST DE VALIDATION ET CERTIFICATION CerT.I. :
Cet article vous permet de préparer une certification CerT.I.
Le test de validation des connaissances pour obtenir cette certification de Techniques de l’Ingénieur est disponible dans le module CerT.I.
de Techniques de l’Ingénieur ! Acheter le module
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Morphismes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAM (A.A), BAKEIR (M.Y.), ABO-TABL (E.A.) - Some methods for generating topologies by relations, - Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2), Vol. 31, No.1, pp. 35-45 (2008).
-
(2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) - Distributive Lattices, - University of Missouri Press (1974).
-
(3) - BARAN (M.) - Closure operators in convergence spaces, - Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).
-
(4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) - Convergence, - Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).
-
(5) - BIRKHOFF (G.) - Lattice Theory, - Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).
-
(6) - BLYTH (T.S.) - Lattices...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Géométrie affine et euclidienne.
-
...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
QUIZ ET TEST DE VALIDATION PRÉSENTS DANS CET ARTICLE
1/ Quiz d'entraînement
Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.
2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(166 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
