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RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
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18. Diversité des champs applicatifs
Les quelques domaines suivants illustrent parmi tant d’autres la diversité des champs applicatifs.
18.1 Théorie des espaces vectoriels ordonnés
La théorie des espaces ordonnés (ordered vector spaces) traite des espaces vectoriels équipés d’une relation d’ordre compatible avec les opérations vectorielles, dont notamment les treillis de Riesz ou les treillis de Banach. Cette théorie tient un rôle important en analyse fonctionnelle et notamment en théorie des opérateurs positifs.
HAUT DE PAGE18.2 Théorie des ensembles approximatifs
La théorie des ensembles approximatifs (rough set theory) est un formalisme mathématique proposé par Z. Pawlak (1981), dans lequel un sous-ensemble d’un ensemble ambient est approché par une paire de deux sous-ensembles : une approximation inférieure et une approximation supérieure.
HAUT DE PAGE18.3 Théorie des domaines
La théorie des domaines (domain theory) (D. Scott, 1960) est une branche spécifique de la théorie des ensembles ordonnés (les domaines sont des ensembles partiellement ordonnés) , dont le principal champ d’application se situe en informatique théorique, comme cadre nécessaire à la définition d’une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul.
HAUT DE PAGE18.4 Théorie de la convergence
La théorie de la convergence (convergence theory) traite de la convergence des suites d’éléments, de points de sous-ensembles, de fonctions… L’idée de prendre la notion de limite de suites (dénombrables) comme primitive pour définir des structures sur un ensemble ambiant remonte à M. Fréchet (1906) et P. Urysohn (1926). Un article de synthèse sur la théorie de la convergence est .
HAUT DE PAGE18.5 Combinatoire
La...
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) - Distributive Lattices, - University of Missouri Press (1974).
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(3) - BARAN (M.) - Closure operators in convergence spaces, - Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).
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(4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) - Convergence, - Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).
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(5) - BIRKHOFF (G.) - Lattice Theory, - Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).
-
(6) - BLYTH (T.S.) - Lattices...
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Géométrie affine et euclidienne.
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