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RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
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The theory of ordered sets is a sub-branch of the set theory that deals with the concept of order using the binary relations. The notions of order are present everywhere in mathematics and in many other scientific disciplines, as well as in the fields of engineering. The first part of this article covers the different types of order relations leading to the ordered spaces, on their particular elements and special subsets, the lattices (complete, bounded, distributive...) and applications between ordered spaces. The second part focuses on collections of subsets of a given ambient set by presenting the main properties, then the most used categories of collections. The notions are illustrated by examples and counter-examples.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
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set theory | order relation | lattices | stacks
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Idéaux de sous-ensembles
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12. Filtres de sous-ensembles
Dans un ensemble E non vide, les filtres de sous-ensembles sont exactement les filtres dans le sens de la théorie des ensembles ordonnés, où la relation d’ordre pertinente est définie par l’inclusion ensembliste
.
12.1 Filtres
Définition (filtre de sous-ensembles (Cartan (1937)). Soit E un ensemble non vide. Un filtre de sous-ensembles (subset filter) de E, notée
, est une pile de sous-ensembles de E non vide satisfaisant l’axiome
(p. 73 de ) :
Le filtre de sous-ensembles de E est dit propre (proper subset filter) s’il satisfait de plus l’axiome (F A).
Ainsi, un filtre de sous-ensembles d’un ensemble E non vide est un upperset de
dirigé inférieurement pour l’inclusion ensembliste
.
La classe de tous les filtres de sous-ensembles (resp. propres) d’un ensemble E non vide est notée
(resp.
) (p. 28 de , p. 166 de ).
Pour un ensemble E non vide, le filtre de sous-ensembles impropre (improper filter) désigne souvent le « power set »
dans la littérature spécialisée.
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Filtres de sous-ensembles
BIBLIOGRAPHIE
-
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-
(2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) - Distributive Lattices, - University of Missouri Press (1974).
-
(3) - BARAN (M.) - Closure operators in convergence spaces, - Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).
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(4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) - Convergence, - Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).
-
(5) - BIRKHOFF (G.) - Lattice Theory, - Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).
-
(6) - BLYTH (T.S.) - Lattices...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Géométrie affine et euclidienne.
-
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