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RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
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Prégrilles et grilles de sous-ensembles
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13. Idéaux de sous-ensembles
Dans un ensemble E non vide, les idéaux de sous-ensembles sont exactement les idéaux dans le sens de la théorie des ensembles ordonnés, où la relation d’ordre pertinente est définie par l’inclusion ensembliste inverse
.
13.1 Idéaux
Définition (idéal de sous-ensembles (Stone, 1936) (Tarski, 1937)). Soit E un ensemble non vide. Un idéal de sous-ensembles (subset ideal) de E, noté
, est une collection (non nécessairement non vide) de sous-ensembles de E telle que si (p. 21 de , p. 100 de , p. 73 de ) :
L’idéal de sous-ensembles est dit propre (proper subset ideal) s’il satisfait de plus l’axiome (IA ).
Ainsi, un idéal de sous-ensembles d’un ensemble E non vide est un downset de
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