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RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
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Collections de sous-ensembles particulières
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14. Prégrilles et grilles de sous-ensembles
Définition (prégrille de sous-ensembles (Stadler et Stadler, 2002)). Soit E un ensemble non vide. Une prégrille de sous-ensembles (subset pre-grill) de E, noté
, est une pile de sous-ensembles de E telle que (p. 19 de ) :
L’axiome (F cp) est ainsi le dual (ou conjugué) de l’axiome (F fip) pour la complémentation (p. 19 de ). La prégrille de sous-ensembles est dite propre (proper pre-grill) si elle satisfait de plus l’axiome (FA ) (p. 19 de ).
La classe de toutes les prégrilles de sous-ensembles non vides (resp. non vides et propres) d’un ensemble E non vide est notée
(resp.
).
Définition (grille de sous-ensembles (Choquet, 1947)). Soit E un ensemble non vide. Une grille de sous-ensembles (subset grill), noté
, est une prégrille de sous-ensembles de E qui satisfait à :
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Prégrilles et grilles de sous-ensembles
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALLAM (A.A), BAKEIR (M.Y.), ABO-TABL (E.A.) - Some methods for generating topologies by relations, - Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, (2), Vol. 31, No.1, pp. 35-45 (2008).
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(2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) - Distributive Lattices, - University of Missouri Press (1974).
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(3) - BARAN (M.) - Closure operators in convergence spaces, - Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).
-
(4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) - Convergence, - Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).
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(5) - BIRKHOFF (G.) - Lattice Theory, - Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).
-
(6) - BLYTH (T.S.) - Lattices...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Géométrie affine et euclidienne.
-
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