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RÉSUMÉ
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
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The theory of ordered sets is a sub-branch of the set theory that deals with the concept of order using the binary relations. The notions of order are present everywhere in mathematics and in many other scientific disciplines, as well as in the fields of engineering. The first part of this article covers the different types of order relations leading to the ordered spaces, on their particular elements and special subsets, the lattices (complete, bounded, distributive...) and applications between ordered spaces. The second part focuses on collections of subsets of a given ambient set by presenting the main properties, then the most used categories of collections. The notions are illustrated by examples and counter-examples.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La théorie des ensembles ordonnés est une sous-branche de la théorie des ensembles qui traite du concept d’ordre en utilisant les relations binaires. Les notions d’ordre sont présentes partout en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques, ainsi que dans les domaines variés de l’ingénierie. La première partie de cet article porte sur les différents types de relations d’ordre conduisant aux espaces ordonnés, sur leurs éléments remarquables et sous-ensembles particuliers, et les applications entre espaces ordonnés. La deuxième partie porte sur les collections de sous-ensembles d’un ensemble ambiant donné en présentant les principales propriétés, puis les catégories de collections les plus utilisées. Les notions présentées sont illustrées par des exemples et contre-exemples.
Préambule
La théorie des ensembles ordonnés (Ordered Set Theory) est une sous-branche de la théorie des ensembles (Set Theory) [AF 180].
La définition d’un ensemble partiellement ordonné a été clairement formulée par F. Hausdorff (1914), même si les axiomes qui apparaissent dans la définition d’une relation d’ordre avaient été considérées préalablement par G. Leibniz (vers 1690). Une définition précise d’un ensemble totalement ordonné a été publiée par G. Cantor (1895).
La première structure de treillis est apparue implicitement au milieu du XIXe siècle sous la forme d’algèbres booléennes (G. Boole, 1847), puis vint l’utilisation des treillis dans l’approche algébrique en théorie des nombres par R. Dedekind (1894, 1897).
Les plus grands mérites dans les premiers développements conséquents de la théorie des treillis (lattice theory) reviennent à G. Birkhoff (1933, 1940, 1948).
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KEYWORDS
set theory | order relation | lattices | stacks
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Treillis
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5. Espaces ordonnés II
5.1 Espaces bien ordonnés
Définition (espace bien ordonné). Un espace bien ordonné (well-ordered space)
est un espace ordonné vérifiant la condition suivante : tout sous-ensemble de E possède un plus petit élément (p. 72 de , p. 45 de ).
La relation de bon ordre (well-order relation) est toujours totale. Tout sous-ensemble d’un ensemble bien ordonné est lui-même bien ordonné (pour la relation d’ordre induite).
Sur l’ensemble
de tous les nombres entiers naturels, la relation d’ordre naturelle ≤ est bien ordonnée. Sur l’ensemble
de tous les nombres entiers relatifs, la relation d’ordre naturelle ≤ n’est pas bien ordonnée.
Théorème de Zermelo (1904). Tout ensemble E non vide peut être muni d’une relation de bon ordre (p. 8 de ).
...
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Espaces ordonnés II
BIBLIOGRAPHIE
-
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(2) - BALBES (R.), DWINGER (P.) - Distributive Lattices, - University of Missouri Press (1974).
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(3) - BARAN (M.) - Closure operators in convergence spaces, - Acta Mathematica Hungarica, Vol. 87, No. 1/2, pp. 33-45 (2000).
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(4) - BENTLEY (H.L.), HERRLICH (H.), LOWEN-COLEBUNDERS (E.) - Convergence, - Journal of Pure and Applied Algebra, Vol. 68, Nos. 1-2, pp. 27-45 (1990).
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(5) - BIRKHOFF (G.) - Lattice Theory, - Colloquium Publications, 25, American Mathematical Society, 3rd ed., 418 pages (1979).
-
(6) - BLYTH (T.S.) - Lattices...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Géométrie affine et euclidienne.
-
...
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