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RÉSUMÉ
Le principal argument souvent avancé en physique pour utiliser les tenseurs est leur définition intrinsèque permettant l’invariance de leurs propriétés vis-à-vis du système de coordonnées. Dans cet article, un autre intérêt des tenseurs est mis en avant, à savoir l’unicité de leur décomposition en somme de tenseurs simples. Cette unicité permet d’identifier ces tenseurs simples à des grandeurs ayant un sens physique. Cette propriété unique, décrite en détail dans cet article, a inspiré de nombreux travaux ces dernières années dans des domaines applicatifs très variés, notamment en science des données, dont il est donné un aperçu.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Pierre COMON : Directeur de recherche Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Gipsa-Lab, Grenoble, France
INTRODUCTION
Les tenseurs sont des objets utilisés depuis longtemps en physique, car ils jouissent de propriétés d’invariance vis-à-vis des systèmes de coordonnées utilisés. Ils apparaissent aussi lorsque l’on veut évaluer la complexité arithmétique de certains problèmes. Enfin, on les rencontre en statistiques, avec les moments et les cumulants de variables aléatoires multivariées. Mais plus récemment, les tenseurs ont fait leur entrée dans d’autres secteurs du monde de l’ingénieur, tels que les télécommunications, l’ingénierie biomédicale, la chimiométrie, le traitement du signal, et bien d’autres. Pourtant ce n’est pas l’indépendance du système de coordonnées dans leur définition qui a permis aux tenseurs de revenir au cœur des outils algébriques utilisés par les ingénieurs. Alors que s’est-il passé ?
Une des propriétés fondamentales des tenseurs est qu’ils peuvent se décomposer de manière unique en une somme de tenseurs plus simples, sous des hypothèses assez faibles. Et dans bien des situations, ces termes plus simples revêtent une signification physique intéressante. C’est cette propriété d’unicité qui leur a valu ce regain d’intérêt depuis une douzaine d’années. Nous décrivons cette propriété fondamentale dans la section 2. Toutefois, en présence d’erreurs de mesure (e.g. bruit), le tenseur mesuré n’a pas le rang escompté de sorte qu’il faudrait calculer la meilleure approximation de rang faible. Or cette approximation n’existe pas toujours comme nous le montrons dans la section 3, ce qui complique l’implantation des algorithmes. Enfin plusieurs applications phares sont décrites dans la section 4.
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MOTS-CLÉS
rang tensoriel séparation aveugle des sources décomposition canonique polyadique (CP) MLSVD traitement d'antenne
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Décompositions tensorielles exactes
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1. Définitions et propriétés
On notera les vecteurs avec des lettres grasses minuscules, e.g. x, les matrices avec des majuscules grasses, e.g. M, et les tenseurs par des lettres calligraphiques grasses, e.g.
. L’opérateur de transposition d’un vecteur ou d’une matrice sera noté T ; dans
l’opérateur de transposition hermitienne sera noté H . Les composantes des vecteurs, matrices et tenseurs dans un système de coordonnées prédéfini seront des nombres scalaires, représentés par des lettres non grasses indexées, par exemple x i , M ij ,
. Dans la mesure du possible, un indice n variera entre 1 et N, i.e. la même lettre sera choisie pour la borne supérieure de l’intervalle, mais en majuscule.
1.1 Applications multilinéaires
Dimension. La dimension d’un espace vectoriel (de dimension finie) est le nombre de vecteurs linéairement indépendants nécessaires pour en constituer une base. Le corps de construction est de dimension 1 car dans la base un seul nombre non nul suffit.
Linéarité. Soient E et F deux espaces vectoriels, de dimension finie M et N respectivement. Le corps de construction
des espaces désignera
ou
...
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