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RÉSUMÉ
Le principal argument souvent avancé en physique pour utiliser les tenseurs est leur définition intrinsèque permettant l’invariance de leurs propriétés vis-à-vis du système de coordonnées. Dans cet article, un autre intérêt des tenseurs est mis en avant, à savoir l’unicité de leur décomposition en somme de tenseurs simples. Cette unicité permet d’identifier ces tenseurs simples à des grandeurs ayant un sens physique. Cette propriété unique, décrite en détail dans cet article, a inspiré de nombreux travaux ces dernières années dans des domaines applicatifs très variés, notamment en science des données, dont il est donné un aperçu.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Pierre COMON : Directeur de recherche Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Gipsa-Lab, Grenoble, France
INTRODUCTION
Les tenseurs sont des objets utilisés depuis longtemps en physique, car ils jouissent de propriétés d’invariance vis-à-vis des systèmes de coordonnées utilisés. Ils apparaissent aussi lorsque l’on veut évaluer la complexité arithmétique de certains problèmes. Enfin, on les rencontre en statistiques, avec les moments et les cumulants de variables aléatoires multivariées. Mais plus récemment, les tenseurs ont fait leur entrée dans d’autres secteurs du monde de l’ingénieur, tels que les télécommunications, l’ingénierie biomédicale, la chimiométrie, le traitement du signal, et bien d’autres. Pourtant ce n’est pas l’indépendance du système de coordonnées dans leur définition qui a permis aux tenseurs de revenir au cœur des outils algébriques utilisés par les ingénieurs. Alors que s’est-il passé ?
Une des propriétés fondamentales des tenseurs est qu’ils peuvent se décomposer de manière unique en une somme de tenseurs plus simples, sous des hypothèses assez faibles. Et dans bien des situations, ces termes plus simples revêtent une signification physique intéressante. C’est cette propriété d’unicité qui leur a valu ce regain d’intérêt depuis une douzaine d’années. Nous décrivons cette propriété fondamentale dans la section 2. Toutefois, en présence d’erreurs de mesure (e.g. bruit), le tenseur mesuré n’a pas le rang escompté de sorte qu’il faudrait calculer la meilleure approximation de rang faible. Or cette approximation n’existe pas toujours comme nous le montrons dans la section 3, ce qui complique l’implantation des algorithmes. Enfin plusieurs applications phares sont décrites dans la section 4.
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MOTS-CLÉS
rang tensoriel séparation aveugle des sources décomposition canonique polyadique (CP) MLSVD traitement d'antenne
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Décompositions tensorielles approchées
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2. Décompositions tensorielles exactes
On pourrait croire que les décompositions matricielles usuelles s’étendent facilement aux tenseurs, mais il n’en est rien. En réalité il existe des différences importantes dès que l’on passe de l’ordre 2 à l’ordre 3, qui à la fois constituent l’intérêt du recours aux tenseurs, mais aussi soulèvent de nouvelles difficultés théoriques et algorithmiques.
2.1 2.1 Rang tensoriel, décomposition canonique polyadique (CP)
Nous avons vu dans l’exemple 3 une forme simple de tenseurs, très utile dans les applications, car ces derniers représentent des fonctions à variables séparées. Décomposer un tenseur en somme de tenseurs simples conduit à la première proposition :
Proposition 4 : décomposition CP (CPD). Tout tenseur
est décomposable en une somme de tenseurs simples de la forme
.
Autrement dit, tout tenseur
peut s’écrire :
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Décompositions tensorielles exactes
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HACKBUSCH (W.) - Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus. - Series in Computational Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer (2012). ISBN: 978-3-642-28026-9.
-
(2) - RUIZ-TOLOSA (J.R., CASTILLO (E.) - From Vectors to Tensors. - Universitext. Berlin, Heidelberg : Springer (2005).
-
(3) - LANDSBERG (J.M.) - Tensors : Geometry and Applications. - T. 128. Graduate Studies in Mathematics. AMS publ., p. 439 (2012).
-
(4) - SHITOV (Y.) - A counterexample to Comon’s conjecture. - In: SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry 2.3 (2018), p. 428–443.
-
(5) - COMON (P.) et al - Symmetric Tensors and Symmetric Tensor Rank. - In: SIAM Journal on Matrix Analysis Appl. 30.3. hal-00327599, p. 1254–1279, sept. 2008.
-
(6) - COMON (P., JUTTEN...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
H. BECKER et al. – Brain source IMaging Algorithms (BIMA). Logiciel de localisation de sources cérébrales distribués, IDDN. FR.001.200011.000. S.P.2016.000.31230. Mai 2016.
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P. Comon. Method and device for blind equalization of a communication channel. Patent no 9806709, registered for Eurecom Institute. Mai 1998.
L. ALBERA et al. Procédé d’identification et de séparation autodidacte de mélanges de sources aux ordres supérieurs – Method for High-Order Blind Identification of Mixtures of Sources. patent registered for Thales Communications, FR 03.04041. US extension US2004-0260522A1, Dec. 23, 2004. Avr. 2003.
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N-way toolbox :
http://www.models.kvl.dk/algorithms
Tensor Toolbox :
Tensor package :
http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~pierre.comon
Three-mode company :
http://three-mode.leidenuniv.nl/
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2/ Test de validation
Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.
Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.
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