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RÉSUMÉ
Le principal argument souvent avancé en physique pour utiliser les tenseurs est leur définition intrinsèque permettant l’invariance de leurs propriétés vis-à-vis du système de coordonnées. Dans cet article, un autre intérêt des tenseurs est mis en avant, à savoir l’unicité de leur décomposition en somme de tenseurs simples. Cette unicité permet d’identifier ces tenseurs simples à des grandeurs ayant un sens physique. Cette propriété unique, décrite en détail dans cet article, a inspiré de nombreux travaux ces dernières années dans des domaines applicatifs très variés, notamment en science des données, dont il est donné un aperçu.
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Pierre COMON : Directeur de recherche Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Gipsa-Lab, Grenoble, France
INTRODUCTION
Les tenseurs sont des objets utilisés depuis longtemps en physique, car ils jouissent de propriétés d’invariance vis-à-vis des systèmes de coordonnées utilisés. Ils apparaissent aussi lorsque l’on veut évaluer la complexité arithmétique de certains problèmes. Enfin, on les rencontre en statistiques, avec les moments et les cumulants de variables aléatoires multivariées. Mais plus récemment, les tenseurs ont fait leur entrée dans d’autres secteurs du monde de l’ingénieur, tels que les télécommunications, l’ingénierie biomédicale, la chimiométrie, le traitement du signal, et bien d’autres. Pourtant ce n’est pas l’indépendance du système de coordonnées dans leur définition qui a permis aux tenseurs de revenir au cœur des outils algébriques utilisés par les ingénieurs. Alors que s’est-il passé ?
Une des propriétés fondamentales des tenseurs est qu’ils peuvent se décomposer de manière unique en une somme de tenseurs plus simples, sous des hypothèses assez faibles. Et dans bien des situations, ces termes plus simples revêtent une signification physique intéressante. C’est cette propriété d’unicité qui leur a valu ce regain d’intérêt depuis une douzaine d’années. Nous décrivons cette propriété fondamentale dans la section 2. Toutefois, en présence d’erreurs de mesure (e.g. bruit), le tenseur mesuré n’a pas le rang escompté de sorte qu’il faudrait calculer la meilleure approximation de rang faible. Or cette approximation n’existe pas toujours comme nous le montrons dans la section 3, ce qui complique l’implantation des algorithmes. Enfin plusieurs applications phares sont décrites dans la section 4.
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MOTS-CLÉS
rang tensoriel séparation aveugle des sources décomposition canonique polyadique (CP) MLSVD traitement d'antenne
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5. Conclusion
L’utilisation des tenseurs dans le monde de l’ingénieur présente des avantages indiscutables : certains problèmes étaient restés insolubles sans leur recours. C’est notamment le cas de la séparation aveugle de sources, où la propriété clé est l’unicité de la CPD.
Que se passe-t-il quand on passe de l’ordre D = 2 à l’ordre D = 3 ? La SVD matricielle M = UΣV H peut être vue à la fois vue comme une CPD où les matrices-facteurs U et V * ont des colonnes orthogonales, ou bien comme une MLSVD où le tenseur cœur Σ est diagonal. Quand on passe de l’ordre D = 2 à l’ordre D = 3, on ne peut pas préserver ces deux propriétés car le rang tensoriel peut dépasser les dimensions. Et pourquoi le peut-il ? Simplement parce que le nombre de paramètres libres augmente, comme nous l’avons vu avec l’obtention de l’équation (14).
Finalement, la CPD et la MLSVD sont donc deux généralisations possibles de la SVD matricielle aux tenseurs . La CPD impose un cœur diagonal mais doit relâcher les contraintes d’orthogonalité sur les matrices-facteurs, alors que la MLSVD maintient cette contrainte, mais doit relâcher le caractère diagonal du cœur. Chacune a son avantage : la MLSVD n’est pas unique, mais l’approximation de rang multilinéaire faible existe, et s’obtient facilement par troncature. La CPD est souvent unique, mais l’approximation de rang tensoriel faible est généralement un problème mal posé sans contrainte supplémentaire.
On peut résumer notre présentation en listant huit différences frappantes apparaissant dès que l’on passe de l’ordre D = 2 (matrices) à l’ordre D ≥ 3 (tenseurs) ...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - HACKBUSCH (W.) - Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus. - Series in Computational Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer (2012). ISBN: 978-3-642-28026-9.
-
(2) - RUIZ-TOLOSA (J.R., CASTILLO (E.) - From Vectors to Tensors. - Universitext. Berlin, Heidelberg : Springer (2005).
-
(3) - LANDSBERG (J.M.) - Tensors : Geometry and Applications. - T. 128. Graduate Studies in Mathematics. AMS publ., p. 439 (2012).
-
(4) - SHITOV (Y.) - A counterexample to Comon’s conjecture. - In: SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry 2.3 (2018), p. 428–443.
-
(5) - COMON (P.) et al - Symmetric Tensors and Symmetric Tensor Rank. - In: SIAM Journal on Matrix Analysis Appl. 30.3. hal-00327599, p. 1254–1279, sept. 2008.
-
(6) - COMON (P., JUTTEN...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
H. BECKER et al. – Brain source IMaging Algorithms (BIMA). Logiciel de localisation de sources cérébrales distribués, IDDN. FR.001.200011.000. S.P.2016.000.31230. Mai 2016.
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P. Comon. Method and device for blind equalization of a communication channel. Patent no 9806709, registered for Eurecom Institute. Mai 1998.
L. ALBERA et al. Procédé d’identification et de séparation autodidacte de mélanges de sources aux ordres supérieurs – Method for High-Order Blind Identification of Mixtures of Sources. patent registered for Thales Communications, FR 03.04041. US extension US2004-0260522A1, Dec. 23, 2004. Avr. 2003.
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N-way toolbox :
http://www.models.kvl.dk/algorithms
Tensor Toolbox :
Tensor package :
http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~pierre.comon
Three-mode company :
http://three-mode.leidenuniv.nl/
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