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RÉSUMÉ
Cet article traite de la modélisation des sollicitations aléatoires, considérées comme la cause principale de la diminution de la résistance des composants mécaniques considérés. Cette étude permet de transiter de ces représentations à des modèles permettant de calculer la durée de vie. La modélisation probabiliste de l’histogramme d’une sollicitation aléatoire, la modélisation théorique des événements locaux, la modélisation probabiliste du dépassement de niveau, ou encore la modélisation de l’enveloppe d’une sollicitation aléatoire sont tout d’abord abordées. Une analyse des méthodes matricielles de comptage est ensuite proposée.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Raed KOUTA : Docteur - Maître de conférences à l’université technologique de Belfort-Montbéliard
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Daniel PLAY : Ingénieur-Docteur - Professeur d’université à l’Institut national des sciences appliquées de Lyon
INTRODUCTION
L’objectif final de la série de 3 dossiers proposés dans cette base documentaire est le calcul prévisionnel de la durée de vie des composants mécaniques. Dans un premier dossier , une analyse statistique et une analyse fréquentielle ont permis d’avoir une représentation des sollicitations appliquées à un système ou à un composant mécanique. Ce deuxième dossier va permettre de passer de ces représentations à des modèles avec, comme objectif ultérieur, de calculer la durée de vie. Deux types de modélisations seront abordés dans cet exposé. Le premier est basé sur des approches statistiques et probabilistes, le second intègre une interaction entre l’analyse statistique et l’analyse fréquentielle.
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Modélisation théorique des événements locaux
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1. Modélisation probabiliste de l’histogramme d’une sollicitation aléatoire
Le passage de l’analyse statistique d’une sollicitation aléatoire à une modélisation probabiliste avec une analyse mathématique est toujours délicat. En effet, l’objet de la modélisation des chargements aléatoires est de déterminer une probabilité théorique d’apparition d’événements, à partir de l’observation d’une série de valeurs ( x i ) N d’une variable aléatoire ( X). Si la statistique descriptive cherche à porter un jugement sur la variable aléatoire par rapport à des valeurs présélectionnées, la statistique mathématique cherche à porter un jugement sur la probabilité d’apparition de différentes valeurs. L’histogramme (figure 1 a ) devient un « estimateur de densité » et le diagramme des cumuls est « estimateur de probabilité » (fonction de répartition). Quelle que soit la méthode de synthèse d’une sollicitation aléatoire, les informations collectées peuvent faire l’objet d’une modélisation probabiliste . Dans la suite de ce paragraphe, la modélisation de l’histogramme classique est présentée. Cette démarche peut aussi s’appliquer à toutes les méthodes de comptage numérique unidimensionnelles. Les modélisations bidimensionnelles ne seront pas traitées dans ce dossier. Ainsi, pour une sollicitation étudiée, la probabilité de dépassement d’un niveau quelconque est obtenue. De même, après la modélisation de la densité de probabilité f (x) et de la fonction de répartition F (x), toutes les techniques de la statistique fondamentale peuvent être appliquées (lois du minimum et du maximum notamment) :
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Modélisation probabiliste de l’histogramme d’une sollicitation aléatoire
BIBLIOGRAPHIE
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(1) - SAPORTA (G.) - Probabilités. Analyse des données et statistiques - . Éd. Technip, 495 p. (1990).
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(2) - FAUCHON (J.) - Probabilités et statistiques - . INSA-Lyon, cours polycopiés, 319 p.
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(3) - GULDBERG (S.) - Applications des polynômes d’Hermite à un problème de statistique - . Proc. of the Inter. Congress of mathematicians, Strasbourg, p. 552-560 (1920).
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(4) - KENDALL (M.G.), STUART (A.) - The advanced theory of statistics - . London, Charles Griffin and Company Limited, vol. 1, 439 p. (1969).
-
(5) - EDGEWORTH (F.Y.) - On the mathematical representation of statistical data - . Journal of the Royal Statistical Society vol. A, 79, Section I, p. 457-482 ; section II, p. 482-500 (1916). Vol. A, 80 ; section III, p. 65-83 ; section IV, p. 266-288 ; section V, p. 411-437 (1917).
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