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RÉSUMÉ
Cet article traite principalement des différentes méthodes d'analyse des circuits linéaires. Sont exposées les méthodes d'étude dans l'espace de Laplace ou en régime sinusoïdal. Dans le cas de circuits simples, la résolution est effectuée à l'aide des résultats du type « pont diviseur » et/ou du théorème de Millman. Des méthodes matricielles sont présentées pour l'étude de circuits plus complexes. Dans le cas de l'étude du circuit dans l'espace des temps, la méthode d'analyse temporelle par variables d'état est décrite et illustrée. La notion de fonction de transfert est définie ainsi que les thèmes associés : forme, stabilité, réponse en fréquence, et finalement les considérations énergétiques dans le cas du régime sinusoïdal sont exposées.
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André PACAUD : Ingénieur SUPELEC
INTRODUCTION
Dans le cas le plus général, l'analyse d'un circuit électrique conduit à déterminer les courants circulant dans toutes les branches (ou les tensions aux bornes de toutes les branches) du circuit en réponse à une ou plusieurs actions données.
En fonction de la complexité du circuit d'une part, et d'autre part de la nature de l'action ou des actions, on est amené à choisir entre différentes méthodes d'analyse (utilisation de la transformée de Laplace, analyse en temporel, utilisation d'une méthode matricielle facilement implémentable sur ordinateur …). Le présent article E102v2 essaie de répondre à ces questions.
L'ensemble des articles sur les circuits électriques comprend trois parties :
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- Version archivée 1 de mai 2005 par Jean-Marie ESCANÉ
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Cas des circuits symétriques
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5. Analyse par variables d'état
5.1 Variables d'état
Les variables d'état d'un système sont un ensemble de n paramètres indépendants x 1(t), x 2(t),…xn (t) tels que la seule donnée x 1(t 0), x 2(t 0),…xn (t 0) suffit à décrire, de façon exhaustive, l'état du système à l'instant t = t 0. Cela signifie que n'importe quelle grandeur du système peut alors être déterminée, à l'instant t 0, à partir des xi (t 0) et des valeurs e 1(t 0), e 2(t 0),…em (t 0) des actions au même instant t 0 (formulation (1)).
On peut dire que l'ensemble x 1(t 0), x 2(t 0),…xn (t 0) résume tout le passé du système de – ∞ à t 0.
Les variables d'état sont donc associées à des éléments possédant de la mémoire. Dans le cadre des circuits électriques, les deux éléments présentant de la mémoire sont le condensateur et la bobine. On peut donc choisir comme variables d'état pour ces deux éléments, d'une part la charge (ou la tension aux bornes) pour le condensateur, et d'autre part, le flux (ou le courant circulant dans la bobine).
L'ensemble des valeurs xi (t 0) résumant le passé du système, l'évolution de celui-ci, pour t supérieur à t 0, est donc simplement fonction des valeurs x 1(t 0), x 2(t 0),…xn (t 0) et des actions e 1(t), e 2(t),…em (t) (pour t supérieur à t 0) (formulation (2)).
HAUT DE PAGE5.2 Équations d'état
Déterminons l'évolution des variables d'état entre les instants t et t+dt. En reprenant la formulation (2), on peut dire que l'évolution dxi de la variable d'état...
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