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RÉSUMÉ
Cet article traite principalement des différentes méthodes d'analyse des circuits linéaires. Sont exposées les méthodes d'étude dans l'espace de Laplace ou en régime sinusoïdal. Dans le cas de circuits simples, la résolution est effectuée à l'aide des résultats du type « pont diviseur » et/ou du théorème de Millman. Des méthodes matricielles sont présentées pour l'étude de circuits plus complexes. Dans le cas de l'étude du circuit dans l'espace des temps, la méthode d'analyse temporelle par variables d'état est décrite et illustrée. La notion de fonction de transfert est définie ainsi que les thèmes associés : forme, stabilité, réponse en fréquence, et finalement les considérations énergétiques dans le cas du régime sinusoïdal sont exposées.
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André PACAUD : Ingénieur SUPELEC
INTRODUCTION
Dans le cas le plus général, l'analyse d'un circuit électrique conduit à déterminer les courants circulant dans toutes les branches (ou les tensions aux bornes de toutes les branches) du circuit en réponse à une ou plusieurs actions données.
En fonction de la complexité du circuit d'une part, et d'autre part de la nature de l'action ou des actions, on est amené à choisir entre différentes méthodes d'analyse (utilisation de la transformée de Laplace, analyse en temporel, utilisation d'une méthode matricielle facilement implémentable sur ordinateur …). Le présent article E102v2 essaie de répondre à ces questions.
L'ensemble des articles sur les circuits électriques comprend trois parties :
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- Version archivée 1 de mai 2005 par Jean-Marie ESCANÉ
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Analyse par variables d'état
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4. Analyse des circuits par méthodes matricielles
Soit un circuit constitué de B branches connectées à N nœuds. L'analyse du circuit est complète si on connaît les tensions aux bornes de ces B branches et les courants circulant dans celles-ci. Les courants se déduisant des tensions (et réciproquement), il semble que B inconnues soient nécessaires pour analyser le circuit. En fait, les branches formant des mailles et les nœuds étant tous reliés chacun à une ou plusieurs branches, la vérification des lois de Kirchhoff montre que le nombre d'inconnues indépendantes nécessaires à l'analyse du circuit est inférieur à B.
4.1 Choix des inconnues
Pour déterminer le nombre d'inconnues indépendantes, on commence par définir un arbre pour le circuit : c'est un ensemble de N – 1 branches du circuit ne formant aucun contour fermé. Par exemple, pour le circuit de la 8, on a choisi les branches 2, 3 et 5 comme branches d'arbre.
Les tensions aux bornes de ces N – 1 branches d'arbre constituent alors les inconnues indépendantes permettant l'analyse du circuit. Si le circuit comporte des sources de tension, on a intérêt à choisir les branches contenant ces sources comme branche d'arbre : la tension aux bornes de la source n'est plus une inconnue et le rang du système est diminué du nombre de sources de tension.
Les B – (N – 1) branches autres que les branches d'arbre sont les branches dites de liaisons : chaque branche de liaison constitue, avec un certain nombre de branches d'arbre, un contour fermé, ne passant pas plusieurs fois par un même nœud, ce contour étant appelé maille. La loi de Kirchhoff aux tensions montre que la connaissance des tensions d'arbre permet alors d'avoir accès aux tensions des liaisons.
Les B – N + 1 courants de ces liaisons peuvent constituer les inconnues indépendantes permettant l'analyse du circuit. Si le circuit comporte des sources de courant, on a intérêt à les placer dans les liaisons : le courant de liaison n'est alors plus inconnu (c'est le courant électromoteur de la source de courant) et le rang du système est diminué du nombre de sources de courant.
HAUT DE PAGE4.2 Mise en équation avec N – 1 tensions inconnues
On considère N – 1...
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