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Auteur(s)
-
Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].
L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.
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Quelques difficultés propres aux modèles non stationnaires
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1. Présentation
Après une définition des modèles linéaires non stationnaires, qui vont constituer le cadre des méthodes de contrôle que nous allons présenter dans les parties suivantes, et afin de sensibiliser le lecteur à ces techniques, nous allons considérer en détail deux points. D'une part, l'apparition d'un modèle linéaire non stationnaire à partir de la linéarisation d'un modèle non linéaire autour d'une trajectoire, et d'autre part, l'exemple très simple de la régulation ther-mique d'une serre.
1.1 Modèles non stationnaires
Nous allons, dans un premier temps, considérer les systèmes linéaires à coefficients variables continus, c'est-à-dire décrits par une relation entre l'entrée
et la sortie
de la forme :
En dimension finie ils sont décrits, en notant D l'opérateur de dérivation, par une équation différentielle entrée-sortie d'ordre n :
( 1 )
ou par une équation d’état
de dimension n :
( 2 )
Dans les formes précédentes,
et
...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRIGHT (L.D.), GATES (R.S.), ARVANITIS (K.G.), DRYSDALE (A.E.) - « Environmental control for plants on earth and in space » - . IEEE Control Systems magazine, vol. 21, n 5, p. 28-47, 2001.
-
(2) - DAWSON (D.M.), HU (J.), BURG (T.C.) - Nonlinear control of electric machinery - . Marcel Dekker, 1998.
-
(3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) - « Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples » - . Int. J. Control, vol. 61, n 6, p. 1327-1361, 1995.
-
(4) - KAILATH (T.) - Linear systems - . Prentice Hall, 1980.
-
(5) - KALMAN (R.E.) - « A new approach to linear filtering and prediction problems » - . Trans. ASME ser. D, J. Basic Engineering, vol. 82, p. 35-45, 1960.
-
(6) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) - « New results in linear filtering...
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