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Auteur(s)
-
Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].
L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.
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Annexe
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9. Application à une régulation de vitesse
Pour illustrer de façon pratique les méthodes développées dans les paragraphes précédents, on va considérer la régulation en vitesse d’un moteur à courant continu à excitation séparée dont le flux statorique varie au cours du temps. Ce moteur peut être décrit par les relations suivantes :
où
est le flux induit par le stator,
et
sont respectivement le courant et la tension rotoriques (cette dernière variable sera notre variable de commande), et
, vitesse de rotation du rotor, qui sera notre variable de sortie. Les valeurs des paramètres caractéristiques sont données dans le tableau 1.
Le problème que l’on a à traiter ici consiste à réguler la vitesse de rotation du moteur autour d’une valeur constante malgré un flux induit soumis à une perturbation périodique de la forme :
où
Wb.
Dans ce cadre, le modèle du moteur est linéaire à paramètres variables dans le temps et l’on peut appliquer la méthodologie que l’on a développée pour les systèmes non stationnaires....
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Application à une régulation de vitesse
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRIGHT (L.D.), GATES (R.S.), ARVANITIS (K.G.), DRYSDALE (A.E.) - « Environmental control for plants on earth and in space » - . IEEE Control Systems magazine, vol. 21, n 5, p. 28-47, 2001.
-
(2) - DAWSON (D.M.), HU (J.), BURG (T.C.) - Nonlinear control of electric machinery - . Marcel Dekker, 1998.
-
(3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) - « Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples » - . Int. J. Control, vol. 61, n 6, p. 1327-1361, 1995.
-
(4) - KAILATH (T.) - Linear systems - . Prentice Hall, 1980.
-
(5) - KALMAN (R.E.) - « A new approach to linear filtering and prediction problems » - . Trans. ASME ser. D, J. Basic Engineering, vol. 82, p. 35-45, 1960.
-
(6) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) - « New results in linear filtering...
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