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Auteur(s)
-
Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].
L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.
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Application à une régulation de vitesse
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8. Cas des systèmes discrets
Tous les développements précédents peuvent être adaptés au cas des systèmes décrits par des équations aux différences dont les coefficients dépendent de la variable temporelle k. De façon plus précise, ces systèmes sont décrits par une relation de la forme :
( 14 )
et dans le cas d'un système de dimension finie, ce que nous supposerons dans la suite, ils peuvent être représentés par l'une des formes suivantes :
-
une équation de récurrence :
![]()
où q représente l'opérateur d'avance, c’est-à-dire
![]()
; -
une équation d'état :
![]()
dans lesquelles, pour tout k,
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,
![]()
sont des scalaires et
![]()
,
![]()
et
![]()
sont des matrices de dimensions respectives (n × n), (n × 1), (1 × n) et (1 × 1). Nous verrons que ces deux formes sont équivalentes.
;
,
sont des scalaires et
,
et
sont des matrices de dimensions respectives (n × n), (n × 1), (1 × n) et (1 × 1). Nous verrons que ces deux formes sont équivalentes....
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Cas des systèmes discrets
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRIGHT (L.D.), GATES (R.S.), ARVANITIS (K.G.), DRYSDALE (A.E.) - « Environmental control for plants on earth and in space » - . IEEE Control Systems magazine, vol. 21, n 5, p. 28-47, 2001.
-
(2) - DAWSON (D.M.), HU (J.), BURG (T.C.) - Nonlinear control of electric machinery - . Marcel Dekker, 1998.
-
(3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) - « Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples » - . Int. J. Control, vol. 61, n 6, p. 1327-1361, 1995.
-
(4) - KAILATH (T.) - Linear systems - . Prentice Hall, 1980.
-
(5) - KALMAN (R.E.) - « A new approach to linear filtering and prediction problems » - . Trans. ASME ser. D, J. Basic Engineering, vol. 82, p. 35-45, 1960.
-
(6) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) - « New results in linear filtering...
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