Bibliographie & annexes
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En anglais
Auteur(s)
-
Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].
L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.
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Autre forme de l'équation différentielle
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2. Quelques difficultés propres aux modèles non stationnaires
2.1 Résolution
Si on considère [2] pour n = 1, soit
, on la résout à l'aide de l'équation différentielle en régime libre,
, dont la solution telle que
s'écrit :
La méthode de variation de la constante, méthode qui consiste à remplacer
par une fonction du temps qui coïncide avec
en
, conduit à la solution de [2] pour n = 1 sous la forme :
La première difficulté vient du fait que l'on ne peut pas, sauf cas particulier, étendre cette relation pour n > 1. De façon plus précise, on ne peut pas écrire dans le cas général pour
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Quelques difficultés propres aux modèles non stationnaires
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRIGHT (L.D.), GATES (R.S.), ARVANITIS (K.G.), DRYSDALE (A.E.) - « Environmental control for plants on earth and in space » - . IEEE Control Systems magazine, vol. 21, n 5, p. 28-47, 2001.
-
(2) - DAWSON (D.M.), HU (J.), BURG (T.C.) - Nonlinear control of electric machinery - . Marcel Dekker, 1998.
-
(3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) - « Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples » - . Int. J. Control, vol. 61, n 6, p. 1327-1361, 1995.
-
(4) - KAILATH (T.) - Linear systems - . Prentice Hall, 1980.
-
(5) - KALMAN (R.E.) - « A new approach to linear filtering and prediction problems » - . Trans. ASME ser. D, J. Basic Engineering, vol. 82, p. 35-45, 1960.
-
(6) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) - « New results in linear filtering...
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