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Auteur(s)
-
Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].
L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.
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Retour d'état et observation
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5. Construction de formes canoniques
5.1 Forme commandable
Lorsque
est une paire commandable, on peut construire une forme canonique commandable à l'aide des étapes suivantes.
1. En plus des vecteurs
à
, on définit le vecteur :
2. On calcule
(on peut remarquer que
est invariant par tout changement de variable).
3. On calcule :
4. Soit :
et la matrice
qui en découle.
5.
est obtenue à partir de
par le changement de variable
où :
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Construction de formes canoniques
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ALBRIGHT (L.D.), GATES (R.S.), ARVANITIS (K.G.), DRYSDALE (A.E.) - « Environmental control for plants on earth and in space » - . IEEE Control Systems magazine, vol. 21, n 5, p. 28-47, 2001.
-
(2) - DAWSON (D.M.), HU (J.), BURG (T.C.) - Nonlinear control of electric machinery - . Marcel Dekker, 1998.
-
(3) - FLIESS (M.), LÉVINE (J.), MARTIN (P.), ROUCHON (P.) - « Flatness and defect of nonlinear systems : introductory theory and examples » - . Int. J. Control, vol. 61, n 6, p. 1327-1361, 1995.
-
(4) - KAILATH (T.) - Linear systems - . Prentice Hall, 1980.
-
(5) - KALMAN (R.E.) - « A new approach to linear filtering and prediction problems » - . Trans. ASME ser. D, J. Basic Engineering, vol. 82, p. 35-45, 1960.
-
(6) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) - « New results in linear filtering...
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