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RÉSUMÉ
L'observation d’un phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Cet article est consacré aux suites indicées régulièrement par le temps. Il expose comment explorer une série et quels types de graphique choisir pour renseigner sur sa structure, ou guider sa modélisation. Les notions de stationnarité et les différentes formes de non-stationnarité sont définies. Une grande place est faite aux modèles ARIMA très souvent présents dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Les problématiques de régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement sont également détaillées.
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Yves ARAGON : Professeur émérite à l'Université de Toulouse 1 (Sciences sociales) - Coresponsable pédagogique du Master « Statistique et économétrie » FOAD
INTRODUCTION
Si un phénomène se déroule dans le temps, on peut vouloir le prédire, en comprendre la dynamique et comprendre les liens qu'il a avec un autre phénomène. Ces objectifs sont souvent complémentaires. L'observation du phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Dans ce dossier, nous voyons d'abord comment explorer une série puis quels graphiques peuvent nous renseigner sur sa structure, nous guider pour sa modélisation. Ensuite, nous définissons la stationnarité et des modèles classiques de série, les modèles ARIMA. L'estimation de tels modèles et leur validation sont illustrées sur des exemples. Nous envisageons différentes formes de non-stationnarité et la façon de les prendre en compte. Enfin, comme un phénomène est souvent dépendant d'un autre phénomène, nous montrons comment combiner la régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement. Même si beaucoup d'autres modèles sont utiles pour décrire les séries temporelles, les modèles ARIMA se retrouvent très souvent dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Des rappels et des compléments sur la régression linéaire figurent en annexe.
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Modèles ARIMA2. Séries stationnaires
Après avoir examiné des outils d’exploration, nous abordons la modélisation des séries temporelles. On considère qu’une série temporelle observée {yt, t = 1,..., T} est la réalisation de v.a. (variables aléatoires) {Y t, t = 1,..., T} qui forment elles-mêmes une portion d’un processus aléatoire {Yt, t = ..., 0,1,2,...}, c’est-à-dire d’une série infinie de v.a. Pour pouvoir faire de l’estimation (de moyenne, de variance,...), il faut que le phénomène ait une certaine stabilité. La notion de stationnarité, déjà évoquée au paragraphe 1.2 , est la clef de l’analyse des séries temporelles.
2.1 Définition et considérations pratiques
Une série {Yt} est dite strictement stationnaire si la distribution conjointe de (Yt 1,..., Ytk) est identique à celle de (Yt1 + t,..., Y tk + t), quel que soient t, k entier positif arbitraire et (t1,..., tk) liste de k entiers positifs arbitraires. Autrement dit, la stationnarité stricte dit que la distribution conjointe de (Yt1,..., Ytk) est invariante quand on fait glisser le temps. Cette condition est difficile à vérifier et on utilise une version plus faible de stationnarité qui considère seulement les moments d’ordre 1 et 2.
{Yt} est dite faiblement stationnaire (ou stationnaire du second ordre) si :
-
l’espérance de Yt est constante :
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; -
la covariance entre Yt et Yt − k...
;
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Séries stationnaires
1 À lire également dans nos bases
MELEARD (S). – Probabilités - Concepts fondamentaux [AF 166] Mathématiques pour l'ingénieur 04/2001.
CHEZE (N.). – Statistique inférentielle - Estimation [AF 168] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2003.
CHEZE (N.). – Statistique descriptive - Traitement des données [AF 167] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2002.
FOUQUE (J.-P.). – Calcul des probabilités - concepts et résultats de base [A 560] Archives analyse/mesure 05/1993.
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SAS – Statistical Analysis System. [langage de commande] version 6 SAS Institute Inc. http://www.sas.com
R – A language and environment for statistical computing [logiciel libre] http://www.r-project.org
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