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RÉSUMÉ
L'observation d’un phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Cet article est consacré aux suites indicées régulièrement par le temps. Il expose comment explorer une série et quels types de graphique choisir pour renseigner sur sa structure, ou guider sa modélisation. Les notions de stationnarité et les différentes formes de non-stationnarité sont définies. Une grande place est faite aux modèles ARIMA très souvent présents dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Les problématiques de régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement sont également détaillées.
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Yves ARAGON : Professeur émérite à l'Université de Toulouse 1 (Sciences sociales) - Coresponsable pédagogique du Master « Statistique et économétrie » FOAD
INTRODUCTION
Si un phénomène se déroule dans le temps, on peut vouloir le prédire, en comprendre la dynamique et comprendre les liens qu'il a avec un autre phénomène. Ces objectifs sont souvent complémentaires. L'observation du phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Dans ce dossier, nous voyons d'abord comment explorer une série puis quels graphiques peuvent nous renseigner sur sa structure, nous guider pour sa modélisation. Ensuite, nous définissons la stationnarité et des modèles classiques de série, les modèles ARIMA. L'estimation de tels modèles et leur validation sont illustrées sur des exemples. Nous envisageons différentes formes de non-stationnarité et la façon de les prendre en compte. Enfin, comme un phénomène est souvent dépendant d'un autre phénomène, nous montrons comment combiner la régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement. Même si beaucoup d'autres modèles sont utiles pour décrire les séries temporelles, les modèles ARIMA se retrouvent très souvent dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Des rappels et des compléments sur la régression linéaire figurent en annexe.
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Modèles ARMAX4. Lissage exponentiel
Les méthodes de prévision basées sur le lissage exponentiel sont utilisées dans l'industrie et le commerce pour prédire des séries telles que ventes ou stocks. Dans ces domaines, beaucoup de séries présentent les mêmes caractéristiques et ces méthodes, rapidement mises en œuvre, donnent souvent des prévisions aussi bonnes que des méthodes basées sur un modèle qu'il faut d'abord identifier puis estimer. Nous n'examinons ici que le lissage exponentiel simple.
Étant donné une série temporelle y1, y2, ..., yT, sans saisonnalité ni trend systématique, il est naturel de prédire yT + 1 par une moyenne des valeurs réalisées qui accorde plus de poids aux valeurs récentes qu'aux valeurs anciennes. Dans le lissage exponentiel, cette moyenne pondérée est
( 40 )
où α est une constante de lissage choisie dans (0,1).
On peut voir :
-
que les poids somment à l'unité. Ils décroissent exponentiellement à mesure que l'on s'éloigne de la date t,
-
que plus α est élevé, plus rapide est la décroissance, moins les valeurs éloignées de t pèsent dans la moyenne,
-
quand α = 1, la prévision est la dernière observation.
On a donc
( 41 )
Posons
. Alors avec l'équation (41), on peut calculer par récurrence les prévisions. C'est ce que l'on appelle le lissage exponentiel simple. On peut encore écrire l'équation (41) sous forme de modèle à correction d'erreur :
...
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Lissage exponentiel
1 À lire également dans nos bases
MELEARD (S). – Probabilités - Concepts fondamentaux [AF 166] Mathématiques pour l'ingénieur 04/2001.
CHEZE (N.). – Statistique inférentielle - Estimation [AF 168] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2003.
CHEZE (N.). – Statistique descriptive - Traitement des données [AF 167] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2002.
FOUQUE (J.-P.). – Calcul des probabilités - concepts et résultats de base [A 560] Archives analyse/mesure 05/1993.
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SAS – Statistical Analysis System. [langage de commande] version 6 SAS Institute Inc. http://www.sas.com
R – A language and environment for statistical computing [logiciel libre] http://www.r-project.org
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