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RÉSUMÉ
L'observation d’un phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Cet article est consacré aux suites indicées régulièrement par le temps. Il expose comment explorer une série et quels types de graphique choisir pour renseigner sur sa structure, ou guider sa modélisation. Les notions de stationnarité et les différentes formes de non-stationnarité sont définies. Une grande place est faite aux modèles ARIMA très souvent présents dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Les problématiques de régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement sont également détaillées.
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Yves ARAGON : Professeur émérite à l'Université de Toulouse 1 (Sciences sociales) - Coresponsable pédagogique du Master « Statistique et économétrie » FOAD
INTRODUCTION
Si un phénomène se déroule dans le temps, on peut vouloir le prédire, en comprendre la dynamique et comprendre les liens qu'il a avec un autre phénomène. Ces objectifs sont souvent complémentaires. L'observation du phénomène sur un intervalle de temps constitue une série temporelle. Dans ce dossier, nous voyons d'abord comment explorer une série puis quels graphiques peuvent nous renseigner sur sa structure, nous guider pour sa modélisation. Ensuite, nous définissons la stationnarité et des modèles classiques de série, les modèles ARIMA. L'estimation de tels modèles et leur validation sont illustrées sur des exemples. Nous envisageons différentes formes de non-stationnarité et la façon de les prendre en compte. Enfin, comme un phénomène est souvent dépendant d'un autre phénomène, nous montrons comment combiner la régression linéaire d'une variable sur d'autres variables et la dynamique de l'erreur d'ajustement. Même si beaucoup d'autres modèles sont utiles pour décrire les séries temporelles, les modèles ARIMA se retrouvent très souvent dans les séries à différentes étapes de leur modélisation. Des rappels et des compléments sur la régression linéaire figurent en annexe.
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Lissage exponentiel3. Modèles ARIMA
3.1 Exemple : usage de l'Internet
Considérons, figure 9, une série classique wwwusage : le nombre d'usagers de l'internet connectés chaque minute pendant 100 min consécutives. Son chronogramme et son ACF, figure 10, montrent que la série n'est manifestement pas stationnaire. Examinons maintenant la série des accroissements (série différenciée) et ses ACF et PACF, figures 11 et .
On a une série qui fluctue beaucoup moins (autour d'une valeur proche de zéro). Son ACF décroît rapidement vers zéro et sa PACF théorique est très probablement nulle à partir du retard 4. Ces observations suggèrent d'ajuster un modèle ARMA (3,0) sur la série des accroissements, c'est-à-dire sur (1 – B)Yt. On dit également que Yt, la série initiale, obéit à un ARIMA (3,1,0) (3 est l'ordre d'autorégression, 1 l'ordre de différenciation, 0 l'ordre de moyenne mobile). Le « I » de ARIMA désigne l'intégration, opération inverse de la différenciation.
Nota : ARIMA Autoregressive Integration Moving Average
Ainsi notant Yt la série initiale, on choisit un modèle de la forme
ou encore le polynôme d'autorégression s'écrit :
où φ(B) n'a pas de racine unité.
Un ARIMA (p,d,q) est un processus autorégressif-moyenne mobile dont le polynôme d'autorégression admet la racine 1, d fois. Il est non stationnaire et en particulier, sa moyenne n'est pas définie (dans l'expression précédente, supposons que
et prenons l'espérance des deux côtés, on obtient : 0 μ = 0.) Si...
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Modèles ARIMA
1 À lire également dans nos bases
MELEARD (S). – Probabilités - Concepts fondamentaux [AF 166] Mathématiques pour l'ingénieur 04/2001.
CHEZE (N.). – Statistique inférentielle - Estimation [AF 168] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2003.
CHEZE (N.). – Statistique descriptive - Traitement des données [AF 167] Mathématiques pour l'ingénieur 10/2002.
FOUQUE (J.-P.). – Calcul des probabilités - concepts et résultats de base [A 560] Archives analyse/mesure 05/1993.
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SAS – Statistical Analysis System. [langage de commande] version 6 SAS Institute Inc. http://www.sas.com
R – A language and environment for statistical computing [logiciel libre] http://www.r-project.org
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