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1 - PRÉAMBULE

  • 1.1 - Éléments historiques
  • 1.2 - Branches des mathématiques associées
  • 1.3 - Domaines d’applications

2 - QUELQUES RAPPELS D’ALGÈBRE VECTORIELLE

  • 2.1 - Dimension et co-dimension
  • 2.2 - Hyperplans et demi-espaces
  • 2.3 - Transformations affines
  • 2.4 - Enveloppes linéaires et affines
  • 2.5 - Addition de Minkowski
  • 2.6 - Sous-ensembles remarquables

3 - CONVEXITÉ DANS LES ESPACES VECTORIELS

  • 3.1 - Sous-ensembles convexes
  • 3.2 - Points extrémaux et faces
  • 3.3 - Enveloppes convexes
  • 3.4 - Théorème de séparation de Kakutani
  • 3.5 - Addition de Minkowski
  • 3.6 - Sous-ensembles étoilés
  • 3.7 - Sous-ensembles absolument convexes

4 - CONVEXITÉ DANS LES ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

  • 4.1 - Sous-ensembles bornés
  • 4.2 - Convexité dans les espaces vectoriels topologiques réels
  • 4.3 - Hyperplans d’appui
  • 4.4 - Corps convexes
  • 4.5 - Points réguliers et singuliers
  • 4.6 - Points extrémaux et faces
  • 4.7 - Sous-ensembles strictement convexes
  • 4.8 - Enveloppes convexes fermées
  • 4.9 - Théorème de Hahn et de Banach
  • 4.10 - Intérieurs relatifs
  • 4.11 - Sous-ensembles étoilés et strictement étoilés
  • 4.12 - Sous-ensembles tonnelés

5 - CONVEXITÉ DANS LES ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES LOCALEMENT CONVEXES

  • 5.1 - Enveloppes convexes fermées
  • 5.2 - Théorème de Krein et Milman
  • 5.3 - Convexité dans les espaces vectoriels normés
  • 5.4 - Convexité dans les espaces pré-hilbertiens

6 - CONVEXITÉ DANS …

  • 6.1 - Transformations affines
  • 6.2 - Points particuliers
  • 6.3 - Convexité et topologie euclidienne
  • 6.4 - Addition de Minkowski
  • 6.5 - Régularité des frontières des corps convexes
  • 6.6 - Ensembles parallèles extérieurs

7 - CONVEXITÉ DANS …

  • 7.1 - Théorème de Bunt et Motzkin
  • 7.2 - Théorème de Minkowski
  • 7.3 - Théorème de Minkowski et Steinitz
  • 7.4 - Théorème de Helly
  • 7.5 - Théorème de Radon
  • 7.6 - Théorème de Tverberg
  • 7.7 - Théorème de Carathéodory et Steinitz
  • 7.8 - Théorème de Bárány
  • 7.9 - Théorème de Fenchel et Bunt
  • 7.10 - Théorème de Kirchberger
  • 7.11 - Théorème de Krasnosselsky
  • 7.12 - Théorème du point fixe de Brouwer

8 - FONCTIONNELLES RELATIVES AUX CONVEXES ET AUX ÉTOILÉS DANS …

  • 8.1 - Fonctionnelles
  • 8.2 - Fonctionnelles d’appui
  • 8.3 - Fonctionnelles radiales
  • 8.4 - Fonctionnelles d’ampleur
  • 8.5 - Fonctionnelles de distance
  • 8.6 - Covariogrammes

9 - CONVEXITÉ DANS …

  • 9.1 - Sections
  • 9.2 - Transversales
  • 9.3 - Projections
  • 9.4 - Diamètre et épaisseur

10 - CONVEXITÉ DANS …

  • 10.1 - Corps de projection
  • 10.2 - Corps d’intersection
  • 10.3 - Corps de section transversale
  • 10.4 - Relations ensemblistes entre ces corps
  • 10.5 - Corps de différence

11 - QUELQUES CONVEXES CLASSIQUES DE …

  • 11.1 - Boules
  • 11.2 - Ellipsoïdes
  • 11.3 - Cônes
  • 11.4 - Cubes
  • 11.5 - Plaques et bandes
  • 11.6 - Cylindres
  • 11.7 - Cap body
  • 11.8 - Lentille symétrique

12 - POLYTOPES CONVEXES ET SIMPLEXES DE …

  • 12.1 - Polytopes convexes
  • 12.2 - Simplexes et k-simplexes
  • 12.3 - Polygones convexes
  • 12.4 - Polyèdres convexes
  • 12.5 - Caractéristique de Descartes et Euler

13 - CONVEXES INSCRITS ET CIRCONSCRITS DANS …

  • 13.1 - Boules inscrites et circonscrites
  • 13.2 - Ellipsoïdes inscrites et circonscrites
  • 13.3 - Simplexes réguliers
  • 13.4 - Quadrilatères
  • 13.5 - Hexagones
  • 13.6 - Coquille sphérique minimale

14 - COURBES ET SURFACES CONVEXES DANS …

  • 14.1 - Courbes convexes
  • 14.2 - Courbes strictement convexes
  • 14.3 - Surfaces convexes

15 - DÉCOMPOSITION DES CORPS CONVEXES DANS …

  • 15.1 - Décomposition des polytopes
  • 15.2 - Décomposition de Minkowski
  • 15.3 - Décomposition de Motzkin
  • 15.4 - Problème de Grünbaum

16 - CONCLUSION

  • 16.1 - Géométrie des polyèdres
  • 16.2 - Tomographie géométrique et morphométrie géométrique
  • 16.3 - Applications numériques
  • 16.4 - Généralisation et extension

17 - SIGLES, NOTATIONS ET SYMBOLES

Article de référence | Réf : AF219 v1

Préambule
Géométrie convexe I - Définitions, propriétés et théorèmes fondamentaux

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 nov. 2020

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RÉSUMÉ

La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce premier article porte sur les principales définitions et propriétés et des théorèmes fondamentaux concernant les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés.

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ABSTRACT

Convex Geometry I. Definitions, Properties and Fundamental Theorems

Convex Geometry is the branch of geometry studying convex sets, mainly in Euclidean spaces. Convex sets occur naturally in Geometry and in many mathematical areas: computational geometry, convex analysis, discrete geometry, functional analysis, geometry of numbers, integral geometry, linear programming, game theory, probability theory, stochastic geometry, stereology etc.. Convex Geometry is also of interest in other scientific and engineering disciplines (e.g. in biology, chemistry, cosmology, geology, pharmaceutics, physics …) where elementary objects (cells, corpuscles, grains, particles, planets …) are often considered as convex sets. This first article deals with the main definitions and properties and fundamental theorems relating to convex sets and more broadly to star-shaped sets.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

La géométrie convexe (Convex Geometry) est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, dans les espaces vectoriels et les espaces vectoriels topologiques en général, et plus particulièrement dans les espaces vectoriels normés et surtout hilbertiens (en dimensions infinies) et euclidiens (en dimensions finies).

Duale de la géométrie convexe, l’analyse convexe (Convex Analysis) est la branche des mathématiques qui traite des fonctions convexes , qui interviennent souvent en théorie de l’optimisation.

Toute notion introduite pour les ensembles convexes se transporte généralement aux fonctions convexes par l’intermédiaire de leurs épigraphes. L’inverse est également vrai : toute notion introduite pour une fonction convexe peut souvent se transporter aux ensembles convexes en l’appliquant à la fonction indicatrice de ces ensembles.

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KEYWORDS

convex sets   |   star-shaped sets   |   polyhedra   |   simplexes   |   polygons

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af219


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1. Préambule

1.1 Éléments historiques

La géométrie convexe est une branche des mathématiques récente, bien que les premières contributions consistantes remontent à l’antiquité (les Pythagoriciens (VIe siècle avant J.C.) et Théétète d’Athènes (IVe siècle avant J.C.)), Euclide d’Alexandrie (vers 300 avant J.C.), Zénodore (IIe siècle avant JC)…) Archimède de Syracuse (IIIe siècle après J.C.) (p. 4 de , p. 112 de ), avant de nouvelles avancées significatives en Europe après le Moyen-Âge (Descartes (vers 1630)), Kepler (1619), Euler (1752-53)…), puis au XIXe siècle (Cauchy (1813, 1821), Steiner (1836, 1840)) .

La géométrie convexe moderne apparue avec H. Brunn en 1887 et 1888, puis H. Minkowski en établit les fondements en dimensions 2 et 3 à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ANDERSON (R.D.), KLEE (V.) -   Convex functions and upper-semicontinuous collections,  -  Duke Mathematical Journal, Vol. 19, pp. 349-357 (1952).

  • (2) - ASPLUND (E.) -   Čebyšev sets in Hilbert space,  -  Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144, pp. 235-240 (1969).

  • (3) - BALL (K.) -   An elementary introduction to modern convex geometry,  -  In: Flavors on Geometry, Research Institute for Mathematical Sciences, Vol. 31, pp. 1-58, Cambridge University Press, Cambridge (1997).

  • (4) - BANACH (S.) -   Sur les fonctionnelles linéaires,  -  Studia Mathematica, Vol. 1, pp. 211-216 (1929).

  • (5) - BÁRÁNY (I.) -   A generalisation of Caratheodory’s theorem,  -  Discrete Mathematics, Vol. 40, pp. 141-152 (1982).

  • (6) - BÁRÁNY...

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