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RÉSUMÉ
La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce premier article porte sur les principales définitions et propriétés et des théorèmes fondamentaux concernant les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés.
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Convex Geometry is the branch of geometry studying convex sets, mainly in Euclidean spaces. Convex sets occur naturally in Geometry and in many mathematical areas: computational geometry, convex analysis, discrete geometry, functional analysis, geometry of numbers, integral geometry, linear programming, game theory, probability theory, stochastic geometry, stereology etc.. Convex Geometry is also of interest in other scientific and engineering disciplines (e.g. in biology, chemistry, cosmology, geology, pharmaceutics, physics …) where elementary objects (cells, corpuscles, grains, particles, planets …) are often considered as convex sets. This first article deals with the main definitions and properties and fundamental theorems relating to convex sets and more broadly to star-shaped sets.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La géométrie convexe (Convex Geometry) est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, dans les espaces vectoriels et les espaces vectoriels topologiques en général, et plus particulièrement dans les espaces vectoriels normés et surtout hilbertiens (en dimensions infinies) et euclidiens (en dimensions finies).
Duale de la géométrie convexe, l’analyse convexe (Convex Analysis) est la branche des mathématiques qui traite des fonctions convexes , qui interviennent souvent en théorie de l’optimisation.
Toute notion introduite pour les ensembles convexes se transporte généralement aux fonctions convexes par l’intermédiaire de leurs épigraphes. L’inverse est également vrai : toute notion introduite pour une fonction convexe peut souvent se transporter aux ensembles convexes en l’appliquant à la fonction indicatrice de ces ensembles.
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KEYWORDS
convex sets | star-shaped sets | polyhedra | simplexes | polygons
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Courbes et surfaces convexes dans …
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13. Convexes inscrits et circonscrits dans …
Ci-dessus : Convexes inscrits et circonscrits dans
13.1 Boules inscrites et circonscrites
Une boule entièrement contenue dans un sous-ensemble X non vide de
compact, de volume maximal, est appelée une boule inscrite (inscribed ball or inball) dans X (p. 95 de , p. 68 de ). En général, il existe plusieurs boules inscrites pour un tel sous-ensemble (p. 76 de ), dont les rayons sont tous égaux à une même valeur appelée le rayon intérieur (inradius) de X et noté Ri (X) (p. 76 de , p. 94 de ).
Une boule contenant entièrement un sous-ensemble X de
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ANDERSON (R.D.), KLEE (V.) - Convex functions and upper-semicontinuous collections, - Duke Mathematical Journal, Vol. 19, pp. 349-357 (1952).
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(5) - BÁRÁNY (I.) - A generalisation of Caratheodory’s theorem, - Discrete Mathematics, Vol. 40, pp. 141-152 (1982).
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