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RÉSUMÉ
La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce premier article porte sur les principales définitions et propriétés et des théorèmes fondamentaux concernant les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés.
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Lire l’articleAuteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La géométrie convexe (Convex Geometry) est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, dans les espaces vectoriels et les espaces vectoriels topologiques en général, et plus particulièrement dans les espaces vectoriels normés et surtout hilbertiens (en dimensions infinies) et euclidiens (en dimensions finies).
Duale de la géométrie convexe, l’analyse convexe (Convex Analysis) est la branche des mathématiques qui traite des fonctions convexes , qui interviennent souvent en théorie de l’optimisation.
Toute notion introduite pour les ensembles convexes se transporte généralement aux fonctions convexes par l’intermédiaire de leurs épigraphes. L’inverse est également vrai : toute notion introduite pour une fonction convexe peut souvent se transporter aux ensembles convexes en l’appliquant à la fonction indicatrice de ces ensembles.
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Fonctionnelles relatives aux convexes et aux étoilés dans …
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7. Convexité dans …
Ci-dessus : Convexité dans
: théorèmes
7.1 Théorème de Bunt et Motzkin
Le théorème de Bunt et Motzkin établit une caractérisation de la convexité d’un sous-ensemble non vide X fermé de l’espace euclidien
par l’existence pour chaque point de
d’une projection orthogonale unique sur X.
Théorème de Bunt (1934) et Motzkin (1935). Soit X un sous-ensemble non vide de
fermé. Si pour tout point x de
il existe un unique point xp de X tel que d 2(x, xp ) = d 2(x, X), alors X est un sous-ensemble convexe de
(p. 53 de ) et réciproquement (p. 37 de ...
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