Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
La géométrie convexe est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, principalement dans les espaces euclidiens. Les ensembles convexes se produisent naturellement dans la géométrie et dans beaucoup de domaines mathématiques : analyse convexe, analyse fonctionnelle, géométrie calculatoire, géométrie discrète, géométrie intégrale, géométrie des nombres, géométrie stochastique, programmation linéaire, stéréologie, théorie des jeux, théorie des probabilités,etc. La géométrie convexe concerne aussi d'autres disciplines scientifiques et techniques (e.g. biologie, chimie, cosmologie, géologie, pharmacie, physique...) où les objets élémentaires (cellules, corpuscules, grains, particules, planètes...) sont souvent considérés comme des ensembles convexes. Ce premier article porte sur les principales définitions et propriétés et des théorèmes fondamentaux concernant les ensembles convexes et plus largement sur les ensembles étoilés.
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Convex Geometry is the branch of geometry studying convex sets, mainly in Euclidean spaces. Convex sets occur naturally in Geometry and in many mathematical areas: computational geometry, convex analysis, discrete geometry, functional analysis, geometry of numbers, integral geometry, linear programming, game theory, probability theory, stochastic geometry, stereology etc.. Convex Geometry is also of interest in other scientific and engineering disciplines (e.g. in biology, chemistry, cosmology, geology, pharmaceutics, physics …) where elementary objects (cells, corpuscles, grains, particles, planets …) are often considered as convex sets. This first article deals with the main definitions and properties and fundamental theorems relating to convex sets and more broadly to star-shaped sets.
Auteur(s)
-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
La géométrie convexe (Convex Geometry) est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes, dans les espaces vectoriels et les espaces vectoriels topologiques en général, et plus particulièrement dans les espaces vectoriels normés et surtout hilbertiens (en dimensions infinies) et euclidiens (en dimensions finies).
Duale de la géométrie convexe, l’analyse convexe (Convex Analysis) est la branche des mathématiques qui traite des fonctions convexes , qui interviennent souvent en théorie de l’optimisation.
Toute notion introduite pour les ensembles convexes se transporte généralement aux fonctions convexes par l’intermédiaire de leurs épigraphes. L’inverse est également vrai : toute notion introduite pour une fonction convexe peut souvent se transporter aux ensembles convexes en l’appliquant à la fonction indicatrice de ces ensembles.
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KEYWORDS
convex sets | star-shaped sets | polyhedra | simplexes | polygons
DOI (Digital Object Identifier)
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Convexité dans les espaces vectoriels
En anglais
2. Quelques rappels d’algèbre vectorielle
Soit (E, +, ×) un espace vectoriel sur le corps (algébrique)
de tous les nombres réels (appelés les scalaires) dont l’origine sera notée ο. Les éléments, notés x, y, z…, de cet espace sont appelés points et sont algébriquement des vecteurs (alors notés scolairement
…, ou simplement x, y, z…) (p. 1 de , p. 1 de , p. 1 de , p. 3 de ).
Dans cet article, les espaces vectoriels sont toujours réels (il conviendrait d’adapter certaines affirmations relatives aux dimensions dans le cas d’espaces vectoriels complexes).
2.1 Dimension et co-dimension
La dimension (dimension or Hamel dimension) d’un espace vectoriel (E, +, ×) est le cardinal d’une base vectorielle de (E, +, ×), c’est-à-dire le nombre de vecteurs composant cette dernière (nombre fini ou infini) (p. 23 de ...
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Quelques rappels d’algèbre vectorielle
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ANDERSON (R.D.), KLEE (V.) - Convex functions and upper-semicontinuous collections, - Duke Mathematical Journal, Vol. 19, pp. 349-357 (1952).
-
(2) - ASPLUND (E.) - Čebyšev sets in Hilbert space, - Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144, pp. 235-240 (1969).
-
(3) - BALL (K.) - An elementary introduction to modern convex geometry, - In: Flavors on Geometry, Research Institute for Mathematical Sciences, Vol. 31, pp. 1-58, Cambridge University Press, Cambridge (1997).
-
(4) - BANACH (S.) - Sur les fonctionnelles linéaires, - Studia Mathematica, Vol. 1, pp. 211-216 (1929).
-
(5) - BÁRÁNY (I.) - A generalisation of Caratheodory’s theorem, - Discrete Mathematics, Vol. 40, pp. 141-152 (1982).
-
(6) - BÁRÁNY...
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