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Auteur(s)
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Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut des sciences appliquées (INSA) de Lyon
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La théorie des fonctions (maximales et minimales) fournit les bases de ce que l’on peut appeler l’optimisation statique. L’optimisation dynamique permet de traiter des problèmes d’extrémum beaucoup plus généraux.
Les problèmes d’optimisation dynamique trouvent leur source historiquement en mécanique générale. C’est pourquoi nous consacrons un article à ce problème. Il est basé sur le calcul des variations dont les fondateurs sont Euler et Lagrange. Les équations de Lagrange – lorsque le système est lagrangien – sont identiques aux formules d’Euler. Les premiers problèmes formulés sont dus à Newton (forme des corps donnant une traînée minimale) et Bernoulli (problème de la brachistochrone).
Un problème d’optimisation dynamique repose sur deux éléments fondamentaux :
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un modèle théorique représentant la nature du problème en mécanique. Ce modèle est fourni par le système d’équations différentielles et d’équations de liaisons ;
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une quantité dont on veut rendre la valeur maximale ou minimale. C’est ce que l’on appelle le critère d’optimisation ou l’indice de performance.
L’existence, depuis très longtemps, d’un modèle mathématique est la cause fondamentale de la naissance en mécanique de la théorie de l’optimisation. L’article qui lui est consacré a un double but : d’une part, donner une introduction aux problèmes d’optimisation et, d’autre part, donner un outil directement utilisable. Nous avons laissé de côté le choix des critères et les techniques particulières de l’optimisation.
Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans la rubrique Dynamique générale et en particulier aux articles :
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Mécanique générale- Dynamique générale. Forme vectorielle Mécanique générale. Dynamique générale. Forme vectorielle ;
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Mécanique générale- Dynamique générale. Forme analytique Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique,
de ce traité.
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Vecteur d’état. Vecteur de commande
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1. Comportement d’un système dynamique
On entend par système dynamique un système dont le mouvement est régi par des équations différentielles. Supposons-le décrit par les équations de Lagrange. On sait qu’en mécanique les systèmes différentiels sont du 2e ordre.
Supposons, pour fixer les idées, le système constitué par un robot à swinguer destiné à remplacer, pour les essais, un joueur de golf (figure 1) (cf. aussi article Mécanique générale- Méthode de l’étude de ce traité).
Aux articulations O1 et O2 s’exercent des actions mécaniques dues à des servomoteurs (figure 2) telles que :
Le but d’un coup de golf est que la tête du club ait une vitesse maximale à l’impact, de manière que la vitesse de la balle soit maximale.
M1 et M 2 sont les masses des systèmes (S1) et (S2) ; I 1 et I 2 les moments d’inertie par rapport aux axes
(figures 2 et 3) :
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