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Article

1 - COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DYNAMIQUE

2 - VECTEUR D’ÉTAT. VECTEUR DE COMMANDE

3 - ESPACE DE PHASE OU D’ÉTAT

4 - ESPACE TEMPS-ÉTAT

5 - DÉFINITIONS

6 - FORMULATION GÉNÉRALE D’UN PROBLÈME D’OPTIMISATION. CALCUL DES VARIATIONS

7 - FONCTIONNELLE

8 - PROBLÈMES DE LAGRANGE À LIMITES FIXES

9 - PROBLÈMES DE LAGRANGE À LIMITES VARIABLES

10 - EXTENSION DU PROBLÈME DE LAGRANGE

11 - TRANSFORMATION D’UN PROBLÈME DE BOLZA EN PROBLÈME DE LAGRANGE

12 - FORMULATION D’HAMILTON-PONTRYAGINE

  • 12.1 - Conditions d’application
  • 12.2 - Transformation de l’écriture des équations de Lagrange
  • 12.3 - Hamiltonien de Pontryagine

13 - PRINCIPE DE PONTRYAGINE

Article de référence | Réf : A1669 v1

Problèmes de Lagrange à limites variables
Mécanique générale - Dynamique : optimisation

Auteur(s) : Jean-Pierre BROSSARD

Date de publication : 10 juil. 1997

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Auteur(s)

  • Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut des sciences appliquées (INSA) de Lyon

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INTRODUCTION

La théorie des fonctions (maximales et minimales) fournit les bases de ce que l’on peut appeler l’optimisation statique. L’optimisation dynamique permet de traiter des problèmes d’extrémum beaucoup plus généraux.

Les problèmes d’optimisation dynamique trouvent leur source historiquement en mécanique générale. C’est pourquoi nous consacrons un article à ce problème. Il est basé sur le calcul des variations dont les fondateurs sont Euler et Lagrange. Les équations de Lagrange – lorsque le système est lagrangien – sont identiques aux formules d’Euler. Les premiers problèmes formulés sont dus à Newton (forme des corps donnant une traînée minimale) et Bernoulli (problème de la brachistochrone).

Un problème d’optimisation dynamique repose sur deux éléments fondamentaux :

  • un modèle théorique représentant la nature du problème en mécanique. Ce modèle est fourni par le système d’équations différentielles et d’équations de liaisons ;

  • une quantité dont on veut rendre la valeur maximale ou minimale. C’est ce que l’on appelle le critère d’optimisation ou l’indice de performance.

L’existence, depuis très longtemps, d’un modèle mathématique est la cause fondamentale de la naissance en mécanique de la théorie de l’optimisation. L’article qui lui est consacré a un double but : d’une part, donner une introduction aux problèmes d’optimisation et, d’autre part, donner un outil directement utilisable. Nous avons laissé de côté le choix des critères et les techniques particulières de l’optimisation.

Nota :

Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans la rubrique Dynamique générale et en particulier aux articles :

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a1669


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9. Problèmes de Lagrange à limites variables

Ce problème est schématisé sur la figure 20.

9.1 Fonctionnelle dépendant d’une seule fonction

Nous supposons ici la limite variable à droite pour simplifier l’écriture des relations (figure 21).

HAUT DE PAGE

9.1.1 Relation entre

y = y * + δy

y ’ = y *’ + δy

y (x2 + δ x2) = y * + δ y2

y (x2 + δ x2) = y (x2) + y ’* (x2) δ x2

En comparant les deux résultats, on obtient :

δ y2 = δ y (x2) + y ’* (x2) δ x2

HAUT DE PAGE

9.1.2 Accroissement de la fonctionnelle

En développant la différence entre la 1re et la 3e intégrale,...

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