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Auteur(s)
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Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut des sciences appliquées (INSA) de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
La théorie des fonctions (maximales et minimales) fournit les bases de ce que l’on peut appeler l’optimisation statique. L’optimisation dynamique permet de traiter des problèmes d’extrémum beaucoup plus généraux.
Les problèmes d’optimisation dynamique trouvent leur source historiquement en mécanique générale. C’est pourquoi nous consacrons un article à ce problème. Il est basé sur le calcul des variations dont les fondateurs sont Euler et Lagrange. Les équations de Lagrange – lorsque le système est lagrangien – sont identiques aux formules d’Euler. Les premiers problèmes formulés sont dus à Newton (forme des corps donnant une traînée minimale) et Bernoulli (problème de la brachistochrone).
Un problème d’optimisation dynamique repose sur deux éléments fondamentaux :
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un modèle théorique représentant la nature du problème en mécanique. Ce modèle est fourni par le système d’équations différentielles et d’équations de liaisons ;
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une quantité dont on veut rendre la valeur maximale ou minimale. C’est ce que l’on appelle le critère d’optimisation ou l’indice de performance.
L’existence, depuis très longtemps, d’un modèle mathématique est la cause fondamentale de la naissance en mécanique de la théorie de l’optimisation. L’article qui lui est consacré a un double but : d’une part, donner une introduction aux problèmes d’optimisation et, d’autre part, donner un outil directement utilisable. Nous avons laissé de côté le choix des critères et les techniques particulières de l’optimisation.
Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans la rubrique Dynamique générale et en particulier aux articles :
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Mécanique générale. Dynamique générale. Forme vectorielle ;
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Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique,
de ce traité.
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Formulation générale d’un problème d’optimisation. Calcul des variations
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5. Définitions
5.1 Contraintes
On appelle contraintes (analogue aux liaisons), les relations que doivent vérifier les paramètres.
Les contraintes peuvent porter sur les variables d’état ou de contrôle. Notons que les équations différentielles seront des contraintes sur les variables d’état.
HAUT DE PAGE5.2 Trajectoire et contrôle admissibles
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Trajectoire admissible
Une trajectoire de phase qui satisfait les contraintes sur les variables d’état est appelée trajectoire admissible. Par exemple, la trajectoire représentée sur la figure 9 n’est pas admissible pour la compétition d’accélération/freinage, car la vitesse x 2 est négative sur une partie (le véhicule devrait aller en arrière).
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Contrôle admissible
Une loi de contrôle qui vérifie les équations de contraintes est dite loi de contrôle admissible.
5.3 Indice de performance
L’indice de performance est le critère mathématique qui permet de juger objectivement la qualité du résultat que l’on veut obtenir.
Pour fixer les idées, étudions le problème de la brachistochrone, qui est le point de départ historique du calcul des variations et de l’optimisation.
Un point matériel M glisse sans frottement sur une courbe, soumis au champ de pesanteur. Le problème est le suivant : trouver la forme de la courbe pour que le temps de descente de A jusqu’à B soit minimal (figure 10).
Mettons le problème en équations par la méthode de Lagrange :
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