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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris, Docteur-Ingénieur - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires au Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Professeur associé au Conservatoire National des Arts et Métiers
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L’ingénieur doit très souvent répondre à une question d’importance pratique considérable, qui est : « est-ce que tel ou tel facteur influence le résultat de mesure ? » Plus précisément, de telles questions peuvent être : « Est‐ce que telle impureté affecte les caractéristiques mécaniques de tel matériau ?» ou bien : « Est-ce que tous les opérateurs conduisant tel gros appareil en travail posté aboutissent effectivement au même résultat, à la même qualité ? » ou bien : « Est‐ce que tel paramètre, qu’on a de bonnes raisons physiques d’estimer important, influence réellement les résultats de mesure ? »
L’outil privilégié pour effectuer ce genre d’étude est l’analyse de la variance.
Nous examinerons successivement l’analyse de la variance à simple entrée (§ 2 et 3), où l’on cherche à déterminer l’influence d’un seul facteur, puis l’analyse de la variance à double entrée (§ 4 et 5 : deux facteurs, ayant éventuellement une interaction entre eux) et le cas particulier de l’analyse de la variance emboîtée 6.
L’influence d’un facteur
sur un résultat de mesure
ayant été mise en évidence, il est souvent utile de chercher à préciser cette liaison entre deux variables : la méthode de régression 7 a pour objet la recherche d’une fonction représentant cette liaison.
Cet article fait suite aux articles Observation statistique Observation statistique, Estimateurs et tests d’hypothèses Estimateur et tests d’hypothèses, auxquels il est fait référence dans le cours du texte ; les tables numériques se trouvent dans l’article Tables statistiques Tables statistiques.
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Analyse de la régression
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6. Carré latin et analyse de la variance emboîtée
Il est possible de généraliser l’analyse de la variance à 3, 4, 5... facteurs contrôlés. Il n’est cependant pas certain que l’usage de ces généralisations soit à recommander. D’abord, parce que cela conduit à des expérimentations coûteuses au regard de ce qu’elles enseignent, en général. Ensuite, parce qu’il est souvent bien difficile de transformer les interactions deux à deux ou trois à trois mises à jour en conclusions physiques utilisables – en raison de la complexité même de ces interactions multiples.
une analyse de la variance à quatre facteurs contrôlés A, B, C, D fait intervenir les interactions suivantes :
Soit onze interactions possibles pour lesquelles il faudrait pouvoir proposer un contenu physique !
6.1 Carré latin
Un cas particulier d’analyse de la variance à triple entrée est cependant fréquemment utilisé en pratique dans la mesure où il ne nécessite qu’un budget d’études assez limité. Il porte le nom de carré latin.
Dans un plan d’expérience en carré latin, les trois facteurs contrôlés vont intervenir avec un même nombre de niveaux chacun (kA = kB = kC ). Le plan d’expérience peut être représenté par un carré divisé en kA colonnes correspondant aux kA niveaux du facteur A et kB lignes (kB = kA ) correspondant aux kB niveaux du facteur B. À toute case du carré Aa Bb est associé un niveau Cc du facteur C, de façon que sur chaque ligne et sur chaque colonne du carré apparaisse une seule fois chacun des kC niveaux du facteur C.
Cependant, s’agissant d’un plan d’expérience limité, on ne s’étonnera pas qu’il ne permette pas de tirer toutes les conclusions qu’on tirerait d’une analyse de la variance classique. On propose de l’étudier sur un exemple.
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Exemple 4
Des ruptures en service de l’isolant en polythène de câbles...
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