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Auteur(s)
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Jacques POIRIER : Ingénieur de l’École Centrale de Paris, Docteur-Ingénieur - Conseiller du Directeur des Réacteurs Nucléaires au Commissariat à l’Énergie Atomique - Chargé de mission auprès des Secrétaires Perpétuels de l’Académie des Sciences - Professeur associé au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’ingénieur doit très souvent répondre à une question d’importance pratique considérable, qui est : « est-ce que tel ou tel facteur influence le résultat de mesure ? » Plus précisément, de telles questions peuvent être : « Est‐ce que telle impureté affecte les caractéristiques mécaniques de tel matériau ?» ou bien : « Est-ce que tous les opérateurs conduisant tel gros appareil en travail posté aboutissent effectivement au même résultat, à la même qualité ? » ou bien : « Est‐ce que tel paramètre, qu’on a de bonnes raisons physiques d’estimer important, influence réellement les résultats de mesure ? »
L’outil privilégié pour effectuer ce genre d’étude est l’analyse de la variance.
Nous examinerons successivement l’analyse de la variance à simple entrée (§ 2 et 3), où l’on cherche à déterminer l’influence d’un seul facteur, puis l’analyse de la variance à double entrée (§ 4 et 5 : deux facteurs, ayant éventuellement une interaction entre eux) et le cas particulier de l’analyse de la variance emboîtée 6.
L’influence d’un facteur
sur un résultat de mesure
ayant été mise en évidence, il est souvent utile de chercher à préciser cette liaison entre deux variables : la méthode de régression 7 a pour objet la recherche d’une fonction représentant cette liaison.
Cet article fait suite aux articles Observation statistique Observation statistique, Estimateurs et tests d’hypothèses Estimateur et tests d’hypothèses, auxquels il est fait référence dans le cours du texte ; les tables numériques se trouvent dans l’article Tables statistiques Tables statistiques.
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Les hypothèses de l’analyse de la variance
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7. Analyse de la régression
Lorsqu’a été mise en évidence l’influence significative d’un facteur (ou d’une interaction) dans le cas du choix systématique des niveaux du facteur contrôlé, il est naturel de chercher une fonction représentant le phénomène. Le cas le plus fréquent est celui d’une fonction monotone (croissante ou décroissante) qu’on peut toujours – au moyen d’une anamorphose éventuellement – représenter sous forme d’une fonction linéaire. Ainsi la parabole y = ax 2 devient une droite y = at en posant
, l’exponentielle y = ae+bx devient une droite t = – b x + m en posant t = ln a et m = ln y, etc.
dans ce genre de problème, les deux variables x et y ne jouent pas des rôles symétriques. x est la variable d’entrée, celle dont on s’est fixé la valeur dans le plan d’expérience, y est la variable de sortie, celle qui résulte de la mesure – et qui, généralement, incorpore au passage toutes les raisons exprimées dans le premier paragraphe d’être distribuée selon une loi de Gauss. Il faudra être particulièrement prudent dans l’utilisation des résultats de la régression ; s’il est toujours valide de « prédire » la valeur de y pour une valeur de x donnée, il est nécessaire de bien réfléchir à la nature physique du problème avant de tenter de « prédire » la valeur de x pour une valeur de y donnée.
7.1 Relevé des observations
Pour chaque valeur xi de la variable d’entrée, on obtient plusieurs (ni ) résultats de mesure :
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