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RÉSUMÉ
Une non-linéarité géométrique apparaît lorsque les configurations initiale et déformée d’un solide ne peuvent pas être confondues. Dans ce cas, la réponse de la structure n’est plus proportionnelle au chargement appliqué. Ce phénomène est observé pour les structures minces, en particulier les coques minces, les câbles, et les structures souples et gonflables, ainsi que dans l’analyse d’instabilité et lors du formage des métaux et plastiques.La non-linéarité engendrée par les grands déplacements et les grandes déformations peut être considérée au moyen d’une description lagrangienne autour de la configuration initiale ou déformée. Cette description permet d’établir le système d’équilibre sous une forme incrémentale, dont la résolution est effectuée à l’aide de méthodes itératives.
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Alaa CHATEAUNEUF : Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, France)
INTRODUCTION
Les grands déplacements du solide, accompagnés ou non de grandes déformations, rendent impossible le calcul des grandeurs mécaniques en se basant simplement sur la configuration initiale. Il est par conséquent nécessaire de prendre en compte le changement de géométrie tout au long de l’histoire du chargement. La difficulté principale réside dans l’impossibilité d’exprimer les tenseurs de déformation et de contrainte sur la configuration déformée, étant donné que cette dernière est inconnue. En effet, la configuration déformée est elle-même la solution recherchée du problème non-linéaire. Pour cette raison, nous devons considérer le mouvement du solide au cours du chargement, et non seulement à l’état final.
Le suivi du mouvement du solide peut être effectué à l’aide de la description lagrangienne, selon deux approches principales :
-
la description lagrangienne totale, où la configuration initiale est considérée comme référence pour les grandeurs mécaniques (i.e. déplacements, déformations et contraintes) ;
-
la description lagrangienne actualisée, où la configuration déformée est considérée comme référence.
Dans le cadre du calcul par éléments finis, la description lagrangienne, totale ou actualisée, permet d’exprimer l’équilibre incrémental de la structure, et par conséquent d’évaluer la matrice de rigidité tangente et les forces nodales pour chaque élément. La résolution du système d’équilibre à l’échelle de la structure est effectuée à l’aide de méthodes incrémentales et itératives, telles que la méthode de Newton-Raphson et celle de la longueur d’arc. Cette description incrémentale constitue un outil numérique indispensable pour l’analyse d’une large gamme de comportements non-linéaires, tels que les grands déplacements, les grandes déformations et l’instabilité des structures. L’implémentation de ces formulations non-linéaires dans les logiciels de calcul par éléments finis permet l’analyse de nombreuses applications dans les domaines de la mécanique des structures et du génie civil.
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Grande déformation d’un milieu continu
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1. Définition de la non-linéarité géométrique
L’analyse linéaire des structures admet implicitement trois hypothèses :
-
le comportement du matériau est élastique quel que soit le niveau de déformation ;
-
les déformations sont infinitésimales ;
-
la résistance du matériau est infinie.
Ces hypothèses, qui justifient le calcul linéaire, sont acceptables tant que l’effet du chargement reste faible en termes de contrainte, de déformation et de déplacement. En réalité, la mécanique des structures comprend quatre types de non-linéarités qui sont associées respectivement au matériau, à la géométrie, aux forces appliquées et aux conditions aux limites.
La non-linéarité géométrique s’exprime par une déviation importante de la configuration déformée de la structure par rapport à sa configuration initiale (i.e. configuration non chargée), comme l’illustrent les schémas de la figure 1. Dans ce cas, les propriétés physiques et mécaniques de la structure sont sensiblement différentes pour les deux configurations (initiale et déformée).
La réponse non-linéaire de la structure est engendrée, d’une part, par l’évolution notable de la géométrie au cours du chargement et, d’autre part, par la déformation significative du solide. Il est donc nécessaire de réécrire le système d’équilibre en tenant compte de la configuration déformée, puisque l’état courant de la structure ne correspond plus à son état initial.
Ce phénomène est plutôt observé pour les structures minces, en particulier les coques minces, les câbles, les structures souples et gonflables, pendant le formage des métaux et plastiques, et lors de l’analyse de stabilité.
1.1 Histoire non-linéaire du chargement
La figure 2 illustre trois types de comportement :
-
linéaire ;
-
rigidifiant ;
-
assouplissant.
-
La réponse linéaire jusqu’à la rupture (figure 2 a ) est souvent observée pour les matériaux fragiles, tels que le verre.
-
Le...
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Définition de la non-linéarité géométrique
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FUNG (Y.C.) - Foundation of solid mechanics. - Prentice Hall, Inc., N.J. (1965).
-
(2) - BATHE (K.-J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall, Inc., N.J. (2006).
-
(3) - CRAVEUR (J.-C.), JETTEUR (Ph.) - Introduction à la mécanique non-linéaire, Calcul des structures par éléments finis. - Collection : Sciences Sup, Dunod (2010).
-
(4) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis – Tomes 1, 2 et 3. - Hermès (1992).
-
(5) - CHATEAUNEUF (A.) - Comprendre les éléments finis. - Collection : Technosup, Ellipses (2005).
-
(6) - MUZEAU (J.-P.) - Modèle de l’influence d’imperfections sur la sécurité des structures...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
-
ABAQUS, Dassault Systèmes,
-
ANSYS France
CAST3M – Commissariat à l’Énergie Atomique
COMSOL France, WTC,
ROBOT – Autodesk France,
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