Bibliographie & annexes
Présentation
En anglais
RÉSUMÉ
Une non-linéarité géométrique apparaît lorsque les configurations initiale et déformée d’un solide ne peuvent pas être confondues. Dans ce cas, la réponse de la structure n’est plus proportionnelle au chargement appliqué. Ce phénomène est observé pour les structures minces, en particulier les coques minces, les câbles, et les structures souples et gonflables, ainsi que dans l’analyse d’instabilité et lors du formage des métaux et plastiques.La non-linéarité engendrée par les grands déplacements et les grandes déformations peut être considérée au moyen d’une description lagrangienne autour de la configuration initiale ou déformée. Cette description permet d’établir le système d’équilibre sous une forme incrémentale, dont la résolution est effectuée à l’aide de méthodes itératives.
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A geometrical nonlinearity occurs when the initial and deformed configurations of a solid become significantly different. In this case, the structural response is no longer proportional to the applied loading. This phenomenon is observed for slender structures, such as thin shells, wires, and flexible structures, and also in stability analysis and during metal and plastic forming. The nonlinearity induced by large displacements and large strains can be considered by means of a Lagrangian description for either the initial or the deformed configurations. This description allows the equilibrium system to be established in incremental form: it is resolved using iterative methods.
Auteur(s)
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Alaa CHATEAUNEUF : Professeur des universités - Polytech Clermont-Ferrand, Institut Pascal, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, France)
INTRODUCTION
Les grands déplacements du solide, accompagnés ou non de grandes déformations, rendent impossible le calcul des grandeurs mécaniques en se basant simplement sur la configuration initiale. Il est par conséquent nécessaire de prendre en compte le changement de géométrie tout au long de l’histoire du chargement. La difficulté principale réside dans l’impossibilité d’exprimer les tenseurs de déformation et de contrainte sur la configuration déformée, étant donné que cette dernière est inconnue. En effet, la configuration déformée est elle-même la solution recherchée du problème non-linéaire. Pour cette raison, nous devons considérer le mouvement du solide au cours du chargement, et non seulement à l’état final.
Le suivi du mouvement du solide peut être effectué à l’aide de la description lagrangienne, selon deux approches principales :
-
la description lagrangienne totale, où la configuration initiale est considérée comme référence pour les grandeurs mécaniques (i.e. déplacements, déformations et contraintes) ;
-
la description lagrangienne actualisée, où la configuration déformée est considérée comme référence.
Dans le cadre du calcul par éléments finis, la description lagrangienne, totale ou actualisée, permet d’exprimer l’équilibre incrémental de la structure, et par conséquent d’évaluer la matrice de rigidité tangente et les forces nodales pour chaque élément. La résolution du système d’équilibre à l’échelle de la structure est effectuée à l’aide de méthodes incrémentales et itératives, telles que la méthode de Newton-Raphson et celle de la longueur d’arc. Cette description incrémentale constitue un outil numérique indispensable pour l’analyse d’une large gamme de comportements non-linéaires, tels que les grands déplacements, les grandes déformations et l’instabilité des structures. L’implémentation de ces formulations non-linéaires dans les logiciels de calcul par éléments finis permet l’analyse de nombreuses applications dans les domaines de la mécanique des structures et du génie civil.
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KEYWORDS
Civil engineering | finite elements | structural mechanics | structural analysis
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Formulations Lagrangiennes totale et actualisée
En anglais
2. Grande déformation d’un milieu continu
D’une manière générale, le solide peut être représenté par un milieu continu composé d’une infinité de points matériels. La configuration de référence est celle à laquelle les variables d’état (i.e. déplacement, déformation, contrainte, volume, etc.) sont évaluées. Pour pouvoir décrire le mouvement du solide, nous devons définir un temps fictif, appelé aussi « pseudo-temps », qui fait simplement référence au stade de déformation ou à une condition particulière de l’état.
-
Trois considérations fondamentales
La formulation du problème non-linéaire est fondée sur trois considérations :
-
la description cinématique permettant de décrire le mouvement et la déformation du solide ;
-
les équations d’équilibre permettant de vérifier l’équilibre des torseurs d’efforts internes et externes ;
-
les lois constitutives du matériau, permettant de vérifier le comportement du matériau reliant les contraintes aux déformations.
-
-
Deux types de description
La description cinématique du mouvement nécessite la connaissance des positions que les points matériels occupent à chaque instant. D’une manière générale, deux types de description peuvent être utilisés :
-
la description lagrangienne, exprimée par les coordonnées matérielles ; dans cette description, les grandeurs physiques, ou variables d’état, sont exprimées en fonction du temps et de la configuration de référence ;
-
la description eulérienne, exprimée en termes de coordonnées spatiales ; dans cette description, les grandeurs physiques sont données en fonction du temps et de la configuration courante.
Alors que les deux descriptions sont envisageables, la description lagrangienne est mieux adaptée à la mécanique du solide, compte tenu du mouvement limité des points matériels. Cette description est donc celle retenue dans la suite de ce document.
À titre d’information, il existe par ailleurs une formulation corotationnelle qui fait référence au repère cartésien local de l’élément et suit la déformation de l’élément. Cette formulation...
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Grande déformation d’un milieu continu
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - FUNG (Y.C.) - Foundation of solid mechanics. - Prentice Hall, Inc., N.J. (1965).
-
(2) - BATHE (K.-J.) - Finite Element Procedures. - Prentice Hall, Inc., N.J. (2006).
-
(3) - CRAVEUR (J.-C.), JETTEUR (Ph.) - Introduction à la mécanique non-linéaire, Calcul des structures par éléments finis. - Collection : Sciences Sup, Dunod (2010).
-
(4) - BATOZ (J.-L.), DHATT (G.) - Modélisation des structures par éléments finis – Tomes 1, 2 et 3. - Hermès (1992).
-
(5) - CHATEAUNEUF (A.) - Comprendre les éléments finis. - Collection : Technosup, Ellipses (2005).
-
(6) - MUZEAU (J.-P.) - Modèle de l’influence d’imperfections sur la sécurité des structures...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
-
ABAQUS, Dassault Systèmes,
-
ANSYS France
CAST3M – Commissariat à l’Énergie Atomique
COMSOL France, WTC,
ROBOT – Autodesk France,
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